相似理论与模型试验例题集模型设计练习题

按图1所示和已有的隧道工程知识，其影响参数有外载；岩土的弹性模量隧道几何尺寸；支护材料弹性模量支护材料强度；应力；变形量有关。则可写出：（1）()2p/Ncm()2/ENcm(m)l()2/cENcm()2R/cNcm()2/Ncmσ(m)y[]f=0ccPELERyσ、、、、、、模型设计练习题三：梁的力学特性模型试验一、梁的尺寸和受力状况如图1所示，试用模型试验的方法，求各跨度中点的应力（不考虑重力）。图1梁的尺寸和受力状况示意图1、列参数准则根据图1已有参数和力学知识，影响应力的参数有应力；变形;转角[无因次]；集中荷载;连续荷载;弯矩;梁的横截面积；截面数转动惯量几何量；弹性模量。各参数方程可写作：（1）2N/cmσ⎡⎤⎣⎦[]ycm[]pN[]/qNm[]MNm•2Acm⎡⎤⎣⎦3;cmω⎡⎤⎣⎦4;Jcm⎡⎤⎣⎦[]Lm2/ENcm⎡⎤⎣⎦()=0fypqMAJLEσφω、、、、、、、、、、用矩阵法求准则方程。列矩阵表1。从表1上半部分可以列出各参数的指数间的代数方程：（2）式（2）仅有2个方程，但有11个未知数。分别按之虚线左侧值代入（2）式求出j和k值，并填入表1之虚线右侧。按表1可得准则：0223420abefkabefghijk++++=⎫⎬−+−+++++−=⎭129,πππ则得准则方程（3）12345623789234;;;;;;;;yELpqMELELELAJLLLσπππφπππωπππ=========。23234F=0ypqMAJELELELELLLLσωφ⎛⎞⎜⎟⎝⎠、、、、、、、、2、选几何缩比因本题仅要求值，故变形和转角量测可不予考虑。若用电阻应变式量测系统，取1cm*0.3cm的应变片，取，所求应力为1*20=20cm长的平均应力。尚可满足该项工程需要，故取。3、确定试验方案试验模型选用同类相似模型。按几何缩比。所得模型几何尺寸见图2σC20l=C20l=C20l=图2试验模型简图4.模型设计计算①由准则可得即若模型所用原料与原型相同，即，则。即模型材料和原型相同时，模型上量测的应力值等于原型上对应处的应力值。'=E'Eσσ1=Eπσ''0EEσ=σECCσ=1ECCσ==1Cσ='σ=σ②由准则可知,经过演算得即模型上的变形仅为原型实际的1/20.由于本题未要求测y值。参数y在本题可略去，即本题亦从略。③由准则，可知，也就是模型和原型间任一对应点的转角数值均相等（自模拟相似），且与其他因素无关，只要模型与原型相似可自动满足。''=yyLLYlCC=2=yLπ3=πφ'3==πφφ'=φφ'y由于本题无测转角要求，故参数和准则可略去。④由准则可知即得（4）已知代入式得（5）φ3π42P=ELπ2'2''()PPELEL='''2/1/(L/L)PPEE=2/1pElCCC=1EC=2220400PlCC==='400PPPPC==根据（5）式知将和值填入图2中。⑤由准则可得：（6）已知代入（6）得'11'221500037.5400400500012.5400400PPNPPN======'1P'2P5=qELπ'''qqELEL=1qElCCC=1EC=（7）将值代入图2中。⑥由准则可得：（8）''20202000100/1/20qlqCCqqqCqNmNcm======='q63=MELπ()'33''MMELEL=31CMElCC=已知，则（9）将值填入图2中⑦由准则可得：，得（10）1EC=33C208000MlC===''800010000100125/8000MMMMCMNcm==×=='M72=LπΑ()'22'LLΑΑ=21AlCC=2220400AlCC===面积A与应力无关，它与稳定性有关。（在力学中长细比）。故在本模型试验中可略去。⑧由准则可得：（11）⑨由准则可得：（12）σxyyAJλγ==83=Lπω'3'3()LLωω=33208000lCCω===94JLπ='4'4()JJLL=41JlCC=4420160000JlCC===当高度按缩小后，和用来求模型梁的梁宽。如梁断面形状上所有的几何尺寸都按缩小后，就自动满足了三准则得要求。但是有时梁截面形状比较复杂时，就给模型制造带来困难。这时可以使截面形状发生改变，只要两条件能满足就可以了。对于只求应力时只满足也就可以了。20lC='J'ωlC'''AJω、、789πππ、、'',JJCCJωω==ωσ'Cωω=ω按本题条件，给了J值，因为梁高h按值求得，故满足时值也就自动满足了。横梁：模型梁作为矩形的。设模型梁为，其值为即可。其立柱宽：lCJCCω5'414102.5cm160000JJJC×==='3112Jbh=1b'13312122.50.245Jbmh×==='223'4223122000001.25160000121.250.234JJbhJJcmCbcm====×==将和的值代入图2，则得到了全部模型的尺寸和外载参数值。5.试验及量测①按图2的尺寸，用与原型相同的材料制造试验模型。②在各跨中贴电阻丝片，与电阻应变仪接通，并进行初始标定。③按图2的支撑状态对模型中固定支撑进行固定。1b2b④按图2所示之荷载性质、位置和数值将外荷载加在模型试验梁上。⑤量测各跨中点应变值。对几次读数进行整理后，用求出模型上各跨中点的应力。因，故模型上测到的各跨中应力值，即为原型梁各跨中点的实际应力值至此获得该题的解。'σ=εΕ'1,EC=σ=σσ0σ6.讨论①如果模型材料与原型材料不相同，即时，则模型试验亦可进行。设。从得。即。就是说这时模型上所获得的应力应是原型应力的1/2倍。同理按（4）式得：1EC≠12EECE==1=Eπσ2ECCσ==''2,2σσ=σ=σPC22220800,202040PElqElCCCCCC==×===×=同理按（8）式得：从这里可以看出由于模型材料改变，会使模型上荷载值和应力值改变。当应力大，仪器测量有困难时，可以用的条件进行模型试验。或者外载太大，设计模型后加载值很大时，亦可以用的模型。反之亦可用的模型。MC33220160000MElCCC==×=1EC=1EC1EC≤②当要求测量变形值，又要求量测一定精确度，但仪器达不到这样精确时，几何缩比应不能太小。也可用的材料，即可加大模型的变形值，又不使模型上加载过大，使实验操作容易。③由于结构件模型设计中准则数目多，一般多用于模拟特定工程、特定结构在特定荷载作用下的课题。而很少做准则间的通解公式。1EC练习四、流体相似模型设计一个1Km长的水平直线输水管道，管径0.2m，流速（63L/s=226t/h）,试选择水泵。解：欲选择水泵应知道流量Q（Q=226t/s）和压差P,从题已知Q，而P待求。显然用实测的方法很困难，若将1Km的管道取10m进行压差量测（测得值乘100即为1Km的值）也很困难。故采用10m长管道之值作相似模型试验求P值。1.列参数求准则=2m/sω设压差，水的粘滞系数，密度，流速，管长为l,已知这五个参数，列方程（1）用矩阵法求准则，各参数的量纲为：列矩阵见表110Ρμρω()10fl0Pμρω=、、、、23P=Kg/m.s;/.;/;/;KgmsKgmmslmμ=ρ=ω==abcdel质量M11100长度L-1-1-311时间T-2-10-1010-1-2001-1-1-11π2π10pμρω表1参数因次量及指数矩阵表从表1可以列出参数间指数关系方程式a+b+c=0-a-b-3c+d+e=0(2)-2a-b-d=0求时令a=1,b=0,得c=-1,d=-2,e=0;求时令a=0,b=1,得c=-1,d=-1,e=-1。将所求得之值填入表格3-1下部，得准则：2.确定几何缩比若本模型试验时所用之流体与原型管道所输的水相同，则，。现分别取，其结果见表2。10122P==Eu11=ll/RelRe()uππρωμ==ρωρωμρω=（欧拉准则）雷诺准则C=1μC=1ρlC5,20lC==原型长=10m流体为水流速w=m/s2m同原型水10m/s0.5m同原型水40m/slC5=倍模型lC20=倍模型'10P25P='10P400P=10p表2从表2可知，流速w=40m/s时,要达到此值和量测此值都困难，故选来设计模型。3.确定模型方案和设计模型模型采用与原型现象同类的相似模型。模型尺寸和参数的计算：lC5=①取时，模型管长原型管直径②试验中流水用与输水管中和相同的水，即③求模型中流速。从雷诺准则知，两现象相似其雷诺准则必相等，即（3）（3）式转换一下，lC5='10L255lm==='10.20.04405mmC∅∅====''C=11C===μρμμρρ''''Rell==ωρωρμμ''''C=,;,llCCCl===ωρμωρμωρμRel=ωρμ'ω（4）（5）④求模型压力和原型压力的关系。两现象相似时，其欧拉准则数值相等：（6）（7）''''l'..111C=1C=1C5,C=5210/1/5lllCCCCmsC======已知，，则ωρμμρωωωρωρμμωω'P10P'102''210'p22''EuC11PPPPCC====⎛⎞⎜⎟⎝⎠即ρωρωρωρωρω已知将此值带入（7）式得则即模型上所量测的压力值是原型值的25倍。从模型上测量的压力值乘1/25即为原型10m长水管输水时所需压力。本题输水管管长为1000m,则所需总压力P=1000/10*C=11/5C=ρω22P11C=C==525（）ω'10P251/25PP=='P/254.试验和量测按前述设计计算尺寸，采用同类模型的试验方法，其试验模型见图1所示图1输水模型试验示意图1—流量计；2—模型试验管；3—温度计；4—水箱；5—水泵；6—压差测量仪；7—调节阀从准则所含参数看，几何量l在模型中已定。流体的性能参数和在试验系统中已经确定。流速之前按相似转换也已确定，并用流量1控制流量的办法来控制流速，即是流量值也确定了。余下的就是压力值需要通过压差测量仪6进行测量（所以，含有参数P的欧拉准则在本题中是非定性准则）。试验步骤：①按图1安装好试验设备。②为保持流体和值稳定，除不使流体染有杂质外，尚需对温度进行控制，用温度计3进行监视。μρω'Pμρ③开动水泵使液体流动，调节调节阀7使其流速稳定在④模型运动稳定后，用压差测量仪6测量并记录试验模型管2两端压力差。重复数次取的平均值或加权平均值作为最终值。5.用得出原型中每10m长输水管所需压力。则可得1000m输水管所需压力。知道流量Q和所需压力P即可选择水泵和它匹配的拖动电动机'10PP=25'1000P×10025p='10/ms=ω'P'P6.讨论如果一定要取,而水流速度和最大只能达到，这个模型试验是否可行呢？C20l='ω'20/ms=ωmax'l2120/,C=2010-11C20,-10120?CC110=1=CC2lmsCCCCC======则从雷诺准则可得（35）式将代入（35）式得得ωωρμωρρμμωωω设则代入（3-5）式得则如果水的粘性系数为，则试验用流体的粘性系数.也就是说，如果把实验用流体改为密度，粘性系数，时，选用，而模型的最大流速为仍可完成这一课题的解。这时'3=1250/kgmρ'10000.81250C===ρρρ'220.81.6CC====μρμ×μ'1.6=μμ=13.57Kg/.smμ'13.578.48/.1.6Kgsm==μ'31250/kgm=ρ'8.48/.kgsm=μlC20='20/ms=ω在相似模拟试验中对按相似试验条件所需要的特殊材料（例如上述，的流体）被称作是相似材料。由于许多相似材料都要求有不同的相似材料，因此有些相似试验的第一步就成为对相似材料的研制了。'31250/kgm=ρ'8.48/.kgsm=μ22P'101018C=CC=0.8=101000P12581000PP==（）ρω