数值分析复习题答案

1数值分析复习题一、填空Chapter1绪论近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有3位有效数字.用1000.1近似真值1000时，其有效数字有4位，已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值1210.10(0)snxaaaa的绝对误差为1x*-x102st。设2.40315x是真值2.40194x的近似值，则x有3位有效数字。设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，则其相对误差限是44111010224，其绝对误差限是41102。当x很大时，为防止损失有效数字，应该使111xxxx。Chapter2插值方法设642()3651fxxxx，则[3,2,1,0,1,2,3]f3。若42f(x)=2x+x-3,则f[1,2,3,4,5,6]=0。对32f(x)=x+3x-x+5,差商f[0,1,2,3,4]=0。设643()35fxxxx，则差商[0,1,2,3,4,5,6]f1。已知y=f(x)的均差021[,,]5fxxx,402[,,]9fxxx,f[x4,x3,x2]=14，f[x0,x3,x2]=8,.那么均差f[x4,x2,x0]=9。（交换不变性）设有数据112032xy则其2次Larange插值多项式为32(1)(2)(1)(1)23xxxx，2次拟合多项式为（最佳平方逼近可求）。？？？以n+1个整数点k(k=0,1,2,…,n)为节点的Lagrange插值基函数为()klx(k=0,1,2,…,n)，则nkk=0kl(x)=x。？？（注：kyk，则有拉格朗日插值公式：2nkkk=0yl(x)(),0,1,2...,0,1,2...,nyLxxnn；y=，即：yx）若332x-1x1S(x)=1(x-1)+a(x-1)+b(x-1)+c1x220是三次样条函数，则：a=_3_,b=_3_,c=0。三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间[a,b]内二阶连续可导，S(xk)=yk(已知)，k=0,1,2,…,n，且满足S(x)在每个子区间[xk,xk+1]上是不超过三次的多项式。过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P(x)=1.51[0,2]310[2,3]xxxx设有函数表如：'i.xx0x1x2x3x4ii.yy0y1y2y3y4iii.ym0m1m2m3m4，则可利用分段三次Hermite插值，其插值多项式的次方为三次.？？Chapter3函数的最佳平方逼近无Chapter4数值积分与数值微分牛顿—柯特斯求积公式的系数和()0nnkkc积分区间的长度（b-a）。（验证梯形、辛普森、科特斯公式满足）？？数值求积公式10311f(x)dxf()+f(1)434的代数精度为：2次代数精度。（依次将函数21,x,x,...代入验证是否满足，可得代数精度）求积公式101113()[2()()2()]3424fxdxfff的代数精度为：3次代数精度。求积分badxxf)(的近似值，其辛卜生公式为[()()4()]62baabfafbf.求积分()bafxdx的近似值，其复化梯形公式为11[()()2()]2nkkhfafbfx设10()1xIfedx，则用梯形公式得近似值为21[()()]22baefafbn点高斯型求积公式其代数精度是2n-1。如5点高斯求积公式，其代数精度为9。Chapter5线性方程组的直接解法3能用高斯消元法求解Axb的充要条件是A的各阶顺序主子式不为零（P113）1221aA,当a满足条件13aa且时(各阶顺序主子式不为零),A可作LU分解,当a满足条件3a时（A为n阶对称正定矩阵）,必有分解式TLLA,其中L是对角元素为正的下三角阵。Chapter6线性方程组的迭代解法设215314278A，则1||||A17，设A＝3752117623，则1A＝20。设有矩阵3346A，则||||A10，2||||A14522。已知A＝761852943，x＝111，则1Ax45。设1253A，33x，则：_8_,_3_,_9_,.24AxAxAxAx。方阵A的谱半径是指max()1Aiin矩阵A的条件数是指。1()condAAA非奇异矩阵A的条件数Cond(A)＝？？，A是病态是指条件数数值很大。？？已知12,()01AA则条件数cond9。Chapter8非线性方程的数值解法解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数(x)满足在有根区间内'(x)1L，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛。利用二分法求()0fx在[,]ab上根的近似值，误差限为[]2kbaRf。设f(x)可微，则求方程x2=f(x)根的牛顿迭代格式为21()()2kkkkkkfxxxxfxx。4求na的近似值，其牛顿迭代格式为11nkkknkxaxxnx。求53的近似值，其牛顿迭代格式是51435kkkkxxxx。求解方程()0fx的Newton迭代公式为1()()'kkkkfxxxfx，割线公式为111()()1,2,3...()()kkkkkkkfxxxxxkfxfx。序列nn=0y满足递推关系：nn-1y=10y-1,(n=1,2,...)，若0y有误差,这个计算过程不稳定。Chapter9常微分方程初值问题的数值解法微分方程数值解的几何意义是指用直线代替曲线。？？求解常微分方程处值问题(,),()yfxyaxbya的改进Euler（梯形法）公式为11120[(,)(,)]()0,1,...1hjjjjjjyyfxyfxyyajn，它是二阶方法(二阶精度)。Euler法是一阶方法(一阶精度)。P218解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报---校正公式是1111(,)0,1,2...,1[(,)(,)]2jjjkjjjjjkyyhfxyjnhyyfxyfxy。预报值：),(1kkkkyxhfyy，校正值：111[(,)(,)2jjjjjkhyyfxyfxy。计算题Chapter1绪论无Chapter2插值方法一、求一个次数不高于4的多项式p4(x)，满足下列插值条件：'x012f(x)011f(x)01解：设：4321443210P()xaxaxaxaxa根据已知条件（五个未知数五个已知条件）解方程组可得：5193432102440aaaaa即：1943234244P()xxxx二、设)(xf在],[20xx上具有三阶连续导数，且20''',)(xxxMxf，1x是区间],[20xx的中点，)(2xP是经过点))(,(,))(,(,))(,(221100xfxxfxxfx的二次多项式。试证明对任意],[20xxx有39)()(32MhxPxf，其中202xxh。证明：由于，)(2xP是经过点))(,(,))(,(,))(,(221100xfxxfxxfx则可以构造出二次牛顿插值或拉格朗日插值，其误差均为：(1)21101()()()[](),()()()...()(1)!nnnnfxfxPxRfxxxxxxxxn本题中2n，20''',)(xxxMxf，3012()()()()xxxxxxx3000max[()]()()(2)xxxxxhxxh，其中：202xxh。333max[()]0.027693hxh所以：(1)331()[]()0.0276(1)!93nnfxhMRfxhMn三、作一个三次多项式)(xH使满足：1)1(,1)2(,0)1(,1)0(HHHH。解：()fx为二次牛顿插值多项式，建立差商表，如下图所示：011012111可得：()1(1)fxxxx，令()()(1)(2)HxfxAxxx则'2()22(362)HxxAxx，因为'(1)1H，解得1A最后得满足条件的三次多项式：23()144Hxxxx。四、对于积分10)(dxxf，若取节点,54,21,51210xxx试推导一个插值型求积公式，6并用这个公式求10dxex的近似值。P74解：1、构造出三节点的拉格朗日插值多项式的基函数，如下：202122(0.5)(0.8)1.30.4()(0.20.5)(0.20.8)0.18(0.2)(0.8)10.16()(0.50.2)(0.50.8)0.09(0.2)(0.5)0.70.1()(0.80.2)(0.80.5)0.18xxxxLxxxxxLxxxxxLx2、先计算系数,0,1,2kAk，具体过程如下：1200121012101.30.4250.185410.1620.092710.1250.1854xxAdxxxAdxxxAdx然后构造出积分公式：120120025225()()()()()542754kkkfxdxAfxfxfxfx3、根据构造的积分公式，计算10dxex，具体过程如下：10.20.50.801202522525225()()()542754542754xedxfxfxfxeee五、给定数据0235()4119xfx试求()fx的3次Newton插值多项式，并写出插值余项。解：求解差商，如下表所示：0432121310214594367则：3311()4(2)(2)(3)226Nxxxxxxx插值余项：(1)01011()[][,,,...,]()()...()()(1)!nnnnfRffxxxxxxxxxxxnChapter3函数的最佳平方逼近一、已知观测数据（1，-5），（2，0），（4，5），（5，6），试用最小二乘法求形如xbaxx)(的经验公式。（10分）解：1541512204001415115420454544656TTAyAAAy6.4331.5377TTbbAAAyaa二、求1(),[1,3]fxxx上的一次最佳平方逼近多项式及平方误差。解：取01；1x；1()Pxabx分别计算：33000111(,)12(,)4dxxdx3332110111111(,)8.667(,)ln3(,)2xdxfdxfxdxxx根据0002002222(,)(,)(,)(,)(,)(,)fafb代入求解得：1.14060.2957ab即得：2()1.14060.2957Pxx为()fx在多项式集合=span{1,x}的最佳平方逼近。平方误差：22220(,)(,)(,)miiiffffCf3222111.14061.09860.295720.005dxx8三、设1(),[,1]4fxxx，试求()fx的一次最佳平方逼近多项式，并估计误差。解：方法同上四、设()sin0,2fxxx，试求()fx的一次最佳平方逼近多项式，并估计误差。解：方法同上五、设22