七年级上数学思维拓展训练二：有理数与数轴的数形结合

2014年秋季七年级（上）数学思维拓展训练1第二讲有理数与数轴的数形结合一、知识要点1.有理数的有关概念：理解有理数的意义，会用正负数表示生活中常用的具有相反意义的量；掌握有理数的两种分类方法；认识常见的无理数，知道有理数与无理数的主要区别。2.数轴问题：掌握数轴的概念及画法，会用数轴上的点表示有理数，确定数轴上的点表示的数，会利用数轴比较有理数的大小。掌握数形结合的方法和特殊值法。3.比较数的大小：掌握比较分数大小的常用方法，掌握作差法（与0比较）、作商法（与1比较）、取倒数法、放缩法等比较大小的常用方法。二、思维训练例1：①将下列各数填入相应的集合内：（★有理数的定义和分类、常见的无理数）1，－3.5，2.1·4·5，2，0，－2，2014，3.1415，2π，－，1.21211211121111…，－100正有理数集合：﹛﹜分数集合：﹛﹜无理数集合：﹛﹜非负整数集合：﹛﹜②将下列各循环小数化为分数：0.▪7＝；0.▪24▪3＝；0.12▪43▪5＝。（★循环小数化为分数的规律，错位相减法）例2：司机小王每天都在东西走向的中山大道上来回运送货物，若规定向东为正，向西为负，这天下午他从位于中山大道上的单位出发，行车里程（单位：千米）如下：－25，＋15，－16，＋22，－17，－7。（★有理数的实际意义及应用）①当小王将最后一批货物送到目的地时，在单位的东边还是西边？距离单位多远？②若该货车每千米耗油0.4升，这天下午小王送完货物返回单位共耗油多少升？例3：三个互不相等的有理数，既可以表示为1、a＋b、a的形式，又可以表示为0、、b的形式，求a2015－b2014的值。（★字母表示数，有理数的运算）3123ba2014年秋季七年级（上）数学思维拓展训练2例4：①如图所示，在数轴上，点A、B、C、D所对应的数分别为a、b、c、d，请比较大小：a＋cb＋d。（★利用数轴比较数的大小）②在数轴上，点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，那么A、B两点间的距离为；（★数轴上两点间的距离）③在数轴上，点A、B分别表示－3.2和2.8，则线段AB的中点所表示的数是。（★数形结合，数轴上两点间的距离）例5：①计算：②是否存在这样的两个数，它们的积与它们的和相等。如：，请再另外写出三组这样的两个数。（★有理数的特殊运算）例6：比较大小：（★常用方法：巧用“1”、取倒数法、统一分子（分母）等）①，，；②，，；③，，，，例7：一电子跳蚤在数轴上的某点K0处，从K0开始跳动，第1次向左跳1个单位长度到K1，第2次由K1向右跳2个单位长度到K2，第3次由K2向左跳3个单位长度到K3，第4次由K3向右跳4个单位长度到K4，…，依此规律，当它跳了第2014次时，在数轴上的落点K2014表示的数恰好是2014，则初始位置K0所表示的数是多少？（★数形结合，探究规律）例8：在数轴上，找出所有的整数点P，使得它到点100和点－100的距离之差大于20，距离之和等于200，求满足该条件的所有整数点的个数以及它们的和。（★数轴问题）2013201220142013201520141111111111111111111117422152310125191259173365129132481632641211212014年秋季七年级（上）数学思维拓展训练3例9：利用数轴，比较有理数a与a1的大小。（★数形结合，分类讨论）例10：如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母A，B，C，D，先让圆周上的字母A对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，再让圆沿着数轴滚动。若向左滚动，则数轴上的数－2013对应的点将与圆周上哪个字母对应的点重合？若向右滚动，则数轴上的数2014所对应的点将与圆周上哪个字母对应的点重合？（★数轴问题，循环组）三、中考前沿1、如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别为整数a，b，c，d，且b－2a＝9，那么数轴的原点对应的点为。2、已知数轴上有A，B两点，A，B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么点B所对应的数为。3、在数轴上任取一条长度为2014的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住个整数点。4、在数轴上，一个负有理数a对应的点为A，那么，与A相距b个单位（b＞0）的点所对应的数为；与A相距c个单位（c＞0）的点中，与原点距离最远的点所对应的数是。201412014年秋季七年级（上）数学思维拓展训练45、如图所示，在纸面上有一数轴，折叠纸面。（1）若表示数1的点与表示数－1的点重合，则表示－2的点与表示数的点重合；（2）若表示数－1的点与表示数3的点重合，回答以下问题：①表示数5的点与表示数的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为m（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，直接写出A、B两点表示的数A：，B：（用含m的式子表示）。四、赛场练兵1、（江苏省竞赛）如图，工作流程线上A、B、C、D处各有一名工人，且AB＝BC＝CD＝1，现在工作流程线上安放一个工具箱，使4个人到工具箱取工具所花费的总时间最少，则工具箱应该安放在什么位置？（★数轴问题：点与数的对应关系）2、（江苏省竞赛）点P在数轴上，将它沿相反数的方向移动2014个单位长度，若新位置和原位置到原点的距离相等，则点P所表示的数是多少？（★数轴问题：点与数的对应关系）DCBA