人教版九年级数学知识点

-1-九年级（上）1二次根式1.1二次根式一般地，把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式；√a（a≥0）是一个非负数；用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，称为代数式（algebraicexpression）；1.2二次根式的乘除一般地，对二次根式的乘法规定：√a*√b=√ab（a≥0，b≥0）；一般地，对二次根式的除法规定：√a/√b=√a/b（a≥0，b≥0）；满足下述两个条件的二次根式叫做最简二次根式：1、被开方数不含分母，2、被开方数中不含能开得尽的因式或因数；1.3二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并；海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，设p=（a+b+c）/2，则三角形的面积为：s=√p（p-a）（p-b）（p-c）；2一元二次方程2.1一元二次方程等式两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程（quadraticequationinoneunknown）；一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2+bx+c=0（a≠0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系统，c是常项；一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（root）；2.2降次——解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解；一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac；当△0时，方程有两个不等的实数根（x=（-b±√b2-4ac）/2a），当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△0时，方程无实数根；其中式子x=（-b±√b2-4ac）/2a叫做一元一次方程的求根公式；解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方法过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法；由求根公式可知，一元二次方程的根不可能多于两个；先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法；*一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数与二次项系数的比；阅读与思考黄金分割数2.3实际问题与一元二次方程3旋转3.1图形的旋转把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转（rotation），点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。-2-性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等；明确三个条件：旋转中心、旋转角度、旋转方向确定关键点：作出关键点旋转后的对应点3.2中心对称把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（centralsymmetry）；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称的；性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；中心对称的两个图形是全等图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形（centralsymmetryfigure）；两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）；3.3课题学习图案设计4圆4.1圆在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆（circle），固定的端点O叫做圆心（centerofcircle），线段OA叫做半径（radius）；连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord），经过圆心的弦叫做直径（diameter）；圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc）；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆（semi-circle）；能够重合的两个圆叫做等圆；在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧；圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对应的两天弧；垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等；顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角（angleinacirclesegment）；圆周角定理：在同圆或等圆中，同弦或同弧所对的圆心角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形；这个圆就叫做这个多边形的外接圆；圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补；4.2点、直线、圆和圆的位置关系点和圆的位置关系：点在圆上，点在圆外，点在圆内；不在同一直线上的三个点确定一个圆；经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆（circumcircle），外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的-3-外心（circumcenter）；不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法；直线和圆的位置关系：有两个公共点，直线和圆相交，直线为割线；只有一个公共点的，直线和圆相切，直线为切线，公共点为切点；没有公共点的，直线和圆相离；切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长；切线长定理：从圆外一点可以引圆的两天切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两天切线的夹角；与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆（inscribedcircle）；内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心（incenter）；圆和圆的位置关系：相离（外离），内含，外切，内切，相交；4.3正多边形和圆正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距；4.4弧长和扇形面积弧长：由组成圆心角的两天半径和圆周角所对的弧所围成的图形叫做扇形；扇形面积：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线；5概率初步5.1随即事件与概率必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件；不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件；必然事件与不可能事件统称确定性事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随即事件（randomevent）；一般地，随即事件发生的可能性是有大有小的，不同的随即事件发生的可能性的大小有可能不同；一般地，对于一个随即事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随即事件A的概率（probability），记为P（A）；一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=m/n；5.2用列举法求概率列举法5.3用频率估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率P（A）=p；5.4课题学习键盘上字母的排列规律-4-九年级（下）6二次函数6.1二次函数及其图像一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数（quadraticfunction）。其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项；一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c；每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点；一般地，抛物线y=a（x-h）2+k与y=y=ax2形状相同，位置不同；把抛物线y=ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y=a（x-h）2+k平移的方向、距离要根据h，k的值来决定；抛物线y=a（x-h）2+k有如下特点：（1）当a0时，开口向上，当a0时，开口向下；（2）对称轴时直线x=h；（3）顶点坐标是（h，k）；用待定系数法求二次函数的解析式；6.2用函数的观点看一元二次方程一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图像可知，（1）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标时x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0就是方程y=ax2+bx+c的一个根；（2）二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根；一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，所以当x=-b/2a,二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值（4ac-b2）/4a；6.3实际问题与二次函数7相似7.1图形的相似形状相同的图形叫做相似图形（similarfigures）；成比例线段；相似多边形对应角相等，对应边的比相等；反过来，如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似；相似多边形对应边的比称为相似比（similarityratio）；7.2相似三角形平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等；平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等；判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比；相似三角-5-形对应高的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似多边形面积的比等于相似比的平方；7.3位似两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形（homotheticfigures），这个点叫做位似中心；在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k；8锐角三角函数8.1锐角三角函数正弦余弦正切锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数（trigonometricfunctionofacuteangle）；8.2解直角三角形利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：（1）将实际问题抽象为数学问题；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）等到数学问题的答案；（4）等到实际问题的答案；9投影与视图9.1投影一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影（projection），照射光线叫做投影线，投影在所在的平面叫做投影面；由平行光线形成的投影是平行投影（parallelprojection）；当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状大小完全相同；由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影（centerp