人教版数学成才之路必修5

基础巩固一、选择题1．(2013·北京文，5)在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝13，则sinB＝()A.15B.59C.53D．1[答案]B[解析]本题考查了正弦定理解三角形，由asinA＝bsinB知313＝5sinB，即sinB＝59，选B.2．(2013·湖南理，3)在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为a、b.若2asinB＝3b，则角A等于()A.π12B.π6C.π4D.π3[答案]D[解析]由正弦定理得asinA＝bsinB，∴sinA＝32，∴A＝π3.3．在△ABC中，下列关系式中一定成立的是()A．absinAB．a＝bsinAC．absinAD．a≥bsinA[答案]D[解析]由正弦定理，得asinA＝bsinB，∴a＝bsinAsinB，在△ABC中，0sinB≤1，故1sinB≥1，∴a≥bsinA.4．(2012～2013学年度辽宁葫芦岛市第一高级中学高二期中测试)△ABC中，b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是()A．一解B．两解C．无解D．无法确定[答案]B[解析]∵b＝30，c＝15，C＝26°，∴cbsinC，又cb，∴此三角形有两解．5．(2012～2013学年度江西九江一中高二期中测试)已知△ABC的面积为32，且b＝2，c＝3，则sinA＝()A.32B.12C.34D.3[答案]A[解析]由已知，得32＝12×2×3×sinA，∴sinA＝32.6．(2012～2013学年度河南渑池高中高二期中测试)已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是()A．x2B．x2C．2x22D．2x23[答案]C[解析]由题设条件可知x2xsin45°2，∴2x22.二、填空题7．已知△ABC外接圆半径是2cm，∠A＝60°，则BC边长为__________．[答案]23cm[解析]∵BCsinA＝2R，∴BC＝2RsinA＝4sin60°＝23(cm)．8．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边．若∠A＝105°，∠B＝45°，b＝22，则c＝______.[答案]2[解析]C＝180°－105°－45°＝30°.根据正弦定理bsinB＝csinC可知22sin45°＝csin30°，解得c＝2.三、解答题9．根据下列条件，解三角形．(1)△ABC中，已知b＝3，B＝60°，c＝1；(2)△ABC中，已知c＝6，A＝45°，a＝2.[解析](1)由正弦定理，得sinC＝cb·sinB＝13×32＝12.∴C＝30°或C＝150°.∵A＋B＋C＝180°，故C＝150°不合题意，舍去．∴A＝90°，a＝b2＋c2＝2.(2)由正弦定理，得sinC＝c·sinAa＝6sin45°2＝32.∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝csinBsinC＝6sin75°sin60°＝3＋1.当C＝120°时，B＝15°，b＝csinBsinC＝6sin15°sin120°＝3－1.∴b＝3＋1，B＝75°，C＝60°或b＝3－1，B＝15°，C＝120°.能力提升一、选择题1．在△ABC中，a＝1，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积为()A.22B.24C.32D.3＋14[答案]D[解析]c＝asinCsinA＝2，B＝105°，sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24，∴S△ABC＝12acsinB＝3＋14.2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝()A．－12B.12C.－1D.1[答案]D[解析]∵acosA＝bsinB，∴sinAcosA＝sin2B＝1－cos2B，∴sinAcosA＋cos2B＝1.3．(2013·辽宁理，6)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若asinBcosC＋csinBcosA＝12b，且ab，则∠B＝()A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案]A[解析]本题考查解三角形，正弦定理，已知三角函数值求角．由正弦定理可得sinB(sinAcosC＋sinCcosA)＝12sinB，∵sinB≠0，∴sin(A＋C)＝12，∴sinB＝12，由ab知AB，∴B＝π6.选A.4．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是()A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直[答案]C[解析]∵k1＝－sinAa，k2＝bsinB，∴k1·k2＝－1，∴两直线垂直．二、填空题5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．[答案]π6[解析]sinB＋cosB＝2sinB＋π4＝2，∴sin(B＋π4)＝1，∵0Bπ，∴π4B＋π454π，∴B＝π4，又∵bsinB＝asinA，∴sinA＝12，∵ab，∴AB，故A＝π6.6．在△ABC中，若acosA2＝bcosB2＝ccosC2，则△ABC一定是________三角形．[答案]等边[解析]由正弦定理得，sinAcosA2＝sinBcosB2＝sinCcosC2，∴sinA2＝sinB2＝sinC2，∵0A，B，Cπ，∴0A2，B2，C2π2，∴A2＝B2＝C2，∴A＝B＝C.三、解答题7．在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．[解析]∵A、B、C是三角形的内角，∴A＝π－(B＋C)，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC.∴sinBcosC－cosBsinC＝0，∴sin(B－C)＝0，又∵0Bπ，0Cπ，∴－πB－Cπ，∴B＝C.又∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，∴△ABC是等腰直角三角形．8．(2013·北京理，15)在△ABC中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A.(1)求cosA的值；(2)求c的值．[解析](1)因为a＝3，b＝26，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理，得3sinA＝26sin2A，所以2sinAcosAsinA＝263，故cosA＝63.(2)由(1)知cosA＝63，所以sinA＝1－cos2A＝33.又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝13.所以sinB＝1－cos2B＝223，在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝539.所以c＝asinCsinA＝5.9．(2012～2013学年度河南禹州高二期中测试)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cosA＝23，sinB＝5cosC.(1)求tanC的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．[解析](1)由cosA＝23，得sinA＝53.又5cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝53cosC＋23sinC，∴tanC＝5.(2)由tanC＝5，得sinC＝306，cosC＝66，∴sinB＝5cosC＝306.由正弦定理，得c＝asinCsinA＝2×30653＝3.∴△ABC的面积S＝12acsinB＝12×2×3×306＝52.