二元一次不等式

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．本节属于高考常考内容，以考查二元一次不等式(组)的几何意义、目标函数的最值(或范围)为主；关于线性规划的实际应用及逆向问题(知最值求参数)也是热点，也有与其他知识综合考查的题目或含参数的线性规划问题，难度一般不太大，小题居多1．二元一次不等式表示的区域(1)当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0的；Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0的．(2)当B＜0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0的；Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0的．法2：Ax＋By＋C＞0用特殊点代入（C≠0，选择原点（0,0）；C=0，选择（1,0)或者（0,1））不等式成立则包含这个点，否则反之。2.线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解[来源:学科网]使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据(即画出不等式组所表示的公共区域)．②设，画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．④最后求得目标函数的．法2A:求出直线的交点坐标B：代入目标函数，比较这几个值得大小，最大的是最大值，最小的是最小值。4.利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出条件，确定函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即，在可行域内求得使目标函数．二元一次不等式(组)表示的平面区域(2013·大纲)记不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域为D，若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是________．求不等式组x－y＋6≥0x＋y≥0x≤3表示的平面区域的面积．若不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0，x＋y≤a表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()．A.43，＋∞B．(0,1]C.1，43D．(0,1]∪43，＋∞设不等式组x＋y－11≥0，3x－y＋3≥0，5x－3y＋9≤0表示的平面区域为D，若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是()A．(1，3]B．[2，3]C．(1，2]D．[3，＋∞)(2)(2014·济南模拟)不等式组2x＋y－6≤0，x＋y－3≥0，y≤2表示的平面区域的面积为()．A．4B．1C．5D．无穷大(3)(2013·安徽卷)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA→|＝|OB→|＝OA→·OB→＝2，则点集{P|OP→＝λOA→＋μOB→，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是()．A．22B．23C．42D．43规律方法二元一次不等式组所确定的平面区域是不等式组中各个不等式所表示的半平面区域的公共部分，画出平面区域的关键是把各个半平面区域确定准确，其基本方法是“直线定界、特殊点定域”．利用线性规划求线性目标函数的最优解(2012·课标)设x，y满足约束条件x－y≥－1，x＋y≤3，x≥0，y≥0，则z＝x－2y的取值范围为____________．(2013·天津卷)设变量x，y满足约束条件3x＋y－6≥0，x－y－2≤0，y－3≤0，则目标函数z＝y－2x的最小值为()．A．－7B．－4C．1D．2规律方法(1)求目标函数最值的一般步骤为：一画、二移、三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．(2)在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值．在解答选择题或者填空题时可以根据可行域的顶点直接进行检验．设x，y满足2x＋y≥4，x－y≥1，x－2y≤2，则z＝x＋y()A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值含参数的线性规划问题(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知a＞0，x，y满足约束条件x≥1，x＋y≤3，y≥ax－3.若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()．A.14B.12C．1D．2(1)若不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是()A.73B.37C.43D.34(2)在平面直角坐标系中，若不等式组x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()A．－5B．1C．2D．3(2013·浙江卷)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，2x－y－4≤0.若z的最大值为12，则实数k＝________.2设m1，在约束条件y≥xy≤mx，x＋y≤1下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2.则m的取值范围为()A．(1,1＋2)B．(1＋2，＋∞)C．(1,3)D．(3，＋∞)3.若x，y满足约束条件x＋y≥1，x－y≥－1，2x－y≤2.目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，则a的取值范围是()A．(－1，2)B．(－4，2)C．(－4，0]D．(－2，4)利用线性规划求非线性目标函数的最优解(新课标人教版A版B组)已知2x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，3x－y－3≤0.当x，y取何值时，x2＋y2取得最大值、最小值？最大值、最小值各是多少？已知x－y＋2≥0，x＋y－4≥0，2x－y－5≤0，求：(1)z＝x＋2y－4的最大值；(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(3)z＝y＋1x＋1的范围．(2013·湖北卷改编)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不少于900人运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？(1实系数方程f(x)＝x2＋ax＋2b＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，求：(1)b－2a－1的值域；(2)(a－1)2＋(b－2)2的值域．(2)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()．A．50,0B．30,20C．20,30D．0,50思想方法——利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值【典例】已知实数x，y满足x＋y－3≥0，x－y＋1≥0，x≤2.(1)若z＝yx，求z的最大值和最小值；(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值和最小值．2.(2013·山东卷改编)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x－y－2≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0所表示的区域上一动点则z＝yx的最小值为()．A．2B．1C．－13D．－121．确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．2．求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大1．(2013·衡阳模拟)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的()．2．(2014·泰安模拟)不等式组y≤－x＋2，y≤x－1，y≥0所表示的平面区域的面积为()．A．1B.12C.13D.143．(2014·杭州模拟)在约束条件y≤x，y≥12x，x＋y≤1下，目标函数z＝x＋12y的最大值为()．A.14B.34C.56D.534．(2013·佛山一检)若变量x，y满足约束条件y≤1，x＋y≥0，x－y－2≤0，则z＝x－2y的最大值为()．A．4B．3C．2D．15．(2013·北京卷)设关于x，y的不等式组2x－y＋1＞0，x＋m＜0，y－m＞0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2.求得m的取值范围是()．A.－∞，43B.－∞，13C.－∞，－23D.－∞，－536．(2013·陕西卷)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．7．(2014·淮安质检)若不等式组x－y＋5≥0，y≥a，0≤x≤2表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．8．(2013·广东卷)给定区域D：x＋4y≥4，x＋y≤4，x≥0，令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．9．(2014·合肥模拟)画出不等式组x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？10．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？能力提升题组1．(2014·昆明模拟)已知x，y满足条件x≥0，y≤x，2x＋y＋k≤0(k为常数)，若目标函数z＝x＋3y的最大值为8，则k＝()．A．－16B．－6C．－83D．62．(2014·临沂一模)已知实数x，y满足不等式组x－y＋2≥0，x＋y－4≥0，2x－y－5≤0，若目标函数z＝y－ax取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围为()．A．(－∞，－1)B．(0,1)C．[1，＋∞)D．(1，＋∞)3．(2013·江苏卷)抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．4．变量x，y满足x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1.(1)设z＝yx，求z的最小值；(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．高考衔接1．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷））若x、y满足20200xykxyy，且zyx的最小值为4，则k的值为（）A．2B．2C．12D．122．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖北卷））由不等式组0200xyyx确定的平面区域记为1，不等式组21yxyx，确定的平面区域记为2，在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为（）A.81B.41C.43D.873．（2014年全国普通