人教版高中数学经典题目练习

❶等比数列｛an｝的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18,求图片中式子的值解:由于{an}为等比数列则:a5a6=a4a7=a3a8=a2a9=a1a10又a5a6+a4a7=18则:2a5a6=18a5a6=9则:log3(a1)+log3(a2)+...+log3(a9)+log3(a10)=log3[a1*a2*a3*...*a10]=log3[(a1a10)*(a2a9)*...*(a5a6)]=log3[9*9*...*9]=log3[9^5]=log3[3^10]=10log3[3]=10❷设数列{an}的前n项和为sn,若对于任意的正整数n都有sn=2an-3n。(1)设bn=an+3,证明:数列｛bn｝是等比数列(2）求数列｛n倍an｝的前n项和(1)Sn=2an-3nn=1时，S1=a1,故有：a1=2a1-3,a1=3n=2时，an=Sn-S(n-1)＝2an-3n-[2a(n-1)-3(n-1)]＝2an-2a(n-1)-3即：an＝2a(n-1)+3两边+3an+3＝2[a(n-1)+3]而bn=an+3,代入：bn=2b(n-1)所以数列{bn}是等比数列，q=2,首项为b1=a1+3＝6bn=6*2^(n-1)=3*2^nan=bn-3=3*2^n-3(2)设Cn=nan=3n*2^n-3n,为两项和前n项和为TnTn＝3*[1*2^1+2*2^2+3*2^3+……+n*2^n]-[3+6+9+……+3n]2Tn＝3*[1*2^2+2*2^3+3*2^4+……+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)]-2[3+6+9+……+3n]上式减去下式：-Tn＝3*[1*2^1+2^2+2^3+2^4+……+2^n-n*2^(n+1)]+[3+6+9+……+3n]＝3*2(2^n-1)/(2-1)-3n*2^(n+1)+n(3+3n)/2＝(3-3n)*2^(n+1)+3n(n+1)/2-6故：Tn＝(3n-3)*2^(n+1)-3n(n+1)/2+6注：求这类n项和，都是用Tn减去qTn，错位相消法。❸若多项式x2+x10=a0+a1(x+1)+....+a9(x+1)9+a10(x+1）10，则a9为A-11B-10C10D11解析主要是比较系数法。观察可知右边是一个10次多项式，且10次项的系数为a10,比较系数可知a10=1再看九次项的系数，它由a9(x+1)^9+a10(x+1)^10两项决定，a9(x+1)^9易知9次项系数为a9,而a10(x+1)^10中9次项的系数稍微复杂，将其展成a10(x^2+2x+1)(x^2+2x+1)(x^2+2x+1)(x^2+2x+1)(x^2+2x+1)而9次项必由4个x^2和1个x相乘得来的,这样9次项的系数为10，所以最后可得9次项的系数为a9+10a10=a9+10再根据比较系数法a9=-10❹已知向量a=(sin(π/2+x）,根号cosx),b=(sinx,cosx)f(x)=a*b1）求f(x)的最小正周期和单调增区间：2）如果三角形ABC中，满足f(A)=（根号3）/2，求角A的值解⑴f(x)=a*b=sin(π/2+x）*sinx+√3cosx*cosx=1/2sin2x+√3/2（1+cos2x）=sin（2x+π/3）+√3/2最小正周期T=2π/2=π单调递增区间：2x+π/3∈【2kπ-π/2，2kπ+π/2】，即x∈【kπ-5π/6，kπ+π/6】，k∈Z单调递减区间：2x+π/3∈【2kπ+π/2，2kπ+3π/2】，即x∈【kπ+π/6，kπ+7π/6】，k∈Z2)、f（A）=√3/2==sin（2A+π/3）+√3/2，得2A+π/3=π，得A=π/3或2A+π/3=2π，得A=5π/6❺已知函数f(x)=sin(2x+π/6)+sin(2x-π/6)+2cos^2x求f（x）的最大值和最小值正周期求使fx=2的x的取值范围解⑴f(x)=sin(2x+π/6)+sin(2x-π/6)+2cos^2x=(√3/2)sin(2x)+(1/2)cos(2x)+(√3/2)sin(2x)-(1/2)cos(2x)+1+cos(2x)=√3sin(2x)+cos(2x)+1=2[(√3/2)sin(2x)+(1/2)cos(2x)]+1=2sin(2x+π/6)+1f(x)max=3,最小正周期是π⑵f(x)≥2,即2sin(2x+π/6)≥1，即sin(2x+π/6)≥1/22kπ+π/6≤2x+π/6≤2kπ+(5/6)π得kπ≤x≤kπ+π/3,k∈Z❻函数y=Asin(ωx+φ)(ω0,|φ|π/2)在同一个周期内，当x=π/4时，y取最大值1，当x=7π/12时，y取最小值-1.（1）求函数的解析式y=f（x）（2）函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f（x）的图象?（3）若函数f（x）满足方程f（x）=a（0＜a＜1），求在【0,2π】内的所有实数根之和。解1）A=1最小正周期T=2*（7π/12-π/4）=2π/3ω=2π/T=3取x=π/4代入：1=sin(3π/4+φ)，求得φ=-π/4（在+/-π/2内）所求解析式为：y=sin(3x-π/4)2)横向压缩到1/3，使周期一致，再右移π/4，使初始角一致。3）sin(3x-π/4)=a,0＜a＜1【0,2π】内函数有三个周波，方程有6个解。这些解关于π+π/4=5π/4对称。因此其和为6*5π/4=15π/2❼在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．[解析](1)由余弦定理及已知条件得，a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于3，所以12absinC＝3，得ab＝4.联立方程组a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.(2)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA，当cosA＝0时，A＝π2，B＝π6，a＝433，b＝233，当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立方程组a2＋b2－ab＝4，b＝2a，解得a＝233，b＝433.所以△ABC的面积S＝12absinC＝233.❽已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，求实数m的值组成的集合．.解析：A＝{}|xx2－5x＋6＝0＝{}2，3，A∪B＝A，∴B⊆A.①m＝0时，B＝∅，B⊆A；②m≠0时，由mx＋1＝0，得x＝－1m.∵B⊆A，∴－1m∈A，∴－1m＝2或－1m＝3，得m＝－12或－13所以符合题意的m的集合为0，－12，－13.❾已知函数)lg()(2baxxxf的定义域为集合A,函数34)(2kxkxxg的定义域为集合B,若}32|{)(,)(xxBACBBACRR,求实数ba,的值及实数k的取值范围..解:},034|{},0|{2RkkxkxxBbaxxxAACBBBACRR,)(,又}32|{)(xxBACR}32|{}.32|{xxxAxxACR或即不等式02baxx的解集为}32|{xxx或6,1ba由可得且ACBBR,方程034)(2kxkxxF的两根都在内]3,2[3220)3(0)2(00kFFk解得234k故6,1ba,]23,4[k❿)某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130～140分数段的人数为2人．(1)估计这所学校成绩在90～140分之间学生的参赛人数；(2)估计参赛学生成绩的中位数；(3)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人，形成帮扶学习小组，若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求出的两人为“黄金搭档组”的概率．[解析](1)设90～140分之间的人数是n，由130～140分数段的人数为2人，可知0.005×10×n＝2，得n＝40.(2)设中位数为x，则0．35＋(x－110)×0.045＝0.2＋(120－x)×0.045，解得x＝3403≈113，即中位数约为113分．(3)依题意，第一组共有40×0.01×10＝4人，记作A1、A2、A3、A4；第五组共有2人，记作B1、B2从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：{A1，A2}、{A1，A3}、{A1，A4}、{A2，A3}、{A2，A4}、{A3，A4}；{A1，B1}、{A2，B1}、{A3，B1}、{A4，B1}；{A1，B2}、{A2，B2}、{A3，B2}、{A4，B2}；{B1，B2}设事件A：选出的两人为“黄金搭档组”，若两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，故P(A)＝815.