二次函数的对称性

（一）、教学内容1.二次函数的解析式六种形式①一般式y=ax2+bx+c(a≠0)②顶点式2()yaxhk（a≠0已知顶点）③交点式12()()yaxxxx（a≠0已知二次函数与X轴的交点）④y=ax2(a≠0)(顶点在原点)⑤y=ax2+c(a≠0)(顶点在y轴上)⑥y=ax2+bx(a≠0)(图象过原点)2.二次函数图像与性质对称轴：2bxa顶点坐标：24(,)24bacbaa与y轴交点坐标（0，c）增减性：当a0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大当a0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小☆二次函数的对称性二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x1,x2其对应的纵坐标相等那么对称轴:122xxx与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)关于y轴对称的函数解析式：y=ax2-bx+c(a≠0)与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)关于x轴对称的函数解析式：y=-ax2–bx-c(a≠0)当a0时，离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大；当a0时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大；【典型例题】题型1求二次函数的对称轴1、二次函数y=2x-mx+3的对称轴为直线x=3，则m=________。2、二次函数cbxxy2的图像上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）（A）1x（B）1x（C）2x（D）3x3、y=2x2-4的顶点坐标为________，对称轴为__________。4、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．求它与x轴的另一个交点的坐标（，）yxO5、抛物线cbxxy2的部分图象如图所示，若0y，则x的取值范围是（）A.14xB.13xC.4x或1xD.3x或1x6、如图，抛物线)0(2acbxaxy的对称轴是直线1x，且经过点P（3，0），则cba的值为（）A.0B.－1C.1D.2题型2比较二次函数的函数值大小1、、若二次函数，当x取，（≠）时，函数值相等，则当x取+时，函数值为（）（A）a+c（B）a-c（C）-c（D）c2、若二次函数24yaxbx的图像开口向上，与x轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时121,2xx时，对应的y1与y2的大小关系是（）A．y1y2B.y1=y2C.y1y2D.不确定点拨：本题可用两种解法解法1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y随x的变化规律确定：a0时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a0时，抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大解法2：求值法：将已知两点代入函数解析式，求出a，b的值再把横坐标值代入求出y1与y2的值，进而比较它们的大小变式1：已知12(2,),(3,)qq二次函数22yxxm上两点，试比较12qq与的大小变式2：已知12(0,),(3,)qq二次函数22yxxm上两点，试比较12qq与的大小变式3：已知二次函数2yaxbxm的图像与22yxxm的图像关于y轴对称，12(2,),(3,)qq是前者图像上的两点，试比较12qq与的大小y–113Oxy–133OxP1题型3与二次函数的图象关于x、y轴对称：二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x1,x2其对应的纵坐标相等那么对称轴:122xxx与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)关于y轴对称的函数解析式：y=ax2-bx+c(a≠0)与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)关于x轴对称的函数解析式：y=-ax2–bx-c(a≠0)1、把抛物线y=-2x2+4x+3沿x轴翻折后，则所得的抛物线关系式为________2、与y=212x-3x+25关于Y轴对称的抛物线________________3、求将二次函数3x2xy2的图象绕着顶点旋转180°后得到的函数图象的解析式。4、在平面直角坐标系中，先将抛物线22yxx关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A．22yxxB．22yxxC．22yxxD．22yxx5、如图，已知抛物线l1:y=-x2+2x与x轴分别交于A、O两点，顶点为M.将抛物线l1关于y轴对称到抛物线l2.则抛物线l2过点O，与x轴的另一个交点为B，顶点为N，连接AM、MN、NB，则四边形AMNB的面积A.3B.6C.8D.10题型4二次函数图象的翻折1、如图，已知抛物线5621xx：yl与x轴分别交于A、B两点，顶点为M．将抛物线l1沿x轴翻折后再向左平移得到抛物线l2．若抛物线l2过点B，与x轴的另一个交点为C，顶点为N，则四边形AMCN的面积为A．32B．16C．50D．40（二）.教学辅助练习一、选择1、若二次函数，当x取，（≠）时，函数值相等，则当x取+时，函数值为（）xAyOBMNCl1l2（A）a+c（B）a-c（C）-c（D）c2、已知抛物线2(1)(0)yaxha与x轴交于1(0)(30)AxB，，，两点，则线段AB的长度为（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．43、抛物线cbxxy2的部分图象如图所示，若0y，则x的取值范围是（）A.14xB.13xC.4x或1xD.3x或1x4、小明从右边的二次函数2yaxbxc图象中，观察得出了下面的五条信息：①0a，②0c，③函数的最小值为3，④当0x时，0y，⑤当1202xx时，12yy．你认为其中正确的个数为（）Ａ．2Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．55、小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y1)，(21，y2)，(－321，y3)，则你认为y1，y2，y3的大小关系应为（）A.y1y2y3B.y2y3y1C.y3y1y2D.y3y2y16、下列四个函数：①y=2x；②；③y=3-2x；④y=2x2+x(x≥0)，其中，在自变量x的允许取值范围内，y随x增大而增大的函数的个数为()A.1B.2C.3D.47、已知二次函数2(0)yaxbxca的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程20axbxc的两个根分别是121.3xx和（）Ａ．－１.３B.-2.3C.-0.3D.-3.38、如图，抛物线)0(2acbxaxy的对称轴是直线1x，且经过点P（3，0），则cba的值为A.0B.－1C.1D.2二、填空1、已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_________·2、已知二次函数2(0)yaxbxca，其中abc，，满足0abc和930abc，则该二次函数图y–113Ox象的对称轴是直线．4、一元二次方程20axbxc的两根为1x，2x，且214xx，点(38)A，在抛物线2yaxbxc上，则点A关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为．5、抛物线cbxaxy2的对称轴是x=2，且过点（3,0），则a+b+c=6、y=a2x+5与X轴两交点分别为（x1,0），（x2,0）则当x=x1+x2时，y值为____7、请你写出一个b的值，使得函数22yxbx在第一象限内y的值随着x的值增大而增大，则b可以是．8、当22x时，下列函数中，函数值随自变量增大而增大的是（只填写序号）①2yx；②2yx；③2yx；④268yxx9、一个关于x的函数同时满足如下三个条件①x为任何实数，函数值y≤2都能成立；②当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；③当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；符合条件的函数的解析式可以是。10、已知(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)是二次函数y=x2-4x+m上的点,则y1,y2,y3从小到大用“”排列是.（三）、作业布置。5、在平面直角坐标系xOy中，二次函数C1:y=ax2+bx+c的图象与C2:y=2x2-4x+3的图象关于y轴对称，且C1与直线y=mx+2交与点A(n，1).试确定m的值.