以计算品质的培养贯穿计算教学的全过程(上)

1以计算品质的培养贯穿计算教学的全过程（上）数的计算是小学数学学习的重要内容之一，涉及数的概念、运算意义、运算法则、运算性质、运算律等多方面的知识，是整个数学教学的基础，历来为小学数学教育所重视。长期以来，我们的计算教学过于注重计算速度的要求，多偏重计算技能(指能按照计算规则进行的常规计算)的训练，而忽视了计算能力(指能灵活运用运算律和计算规则进行简便、合理的计算)的培养。多项大样本的测试数据表明，小学生虽然有极快的口算速度，但在笔算中则显得不那么聪明。遇到可以简算的题目时，多数学生却仍机械地依常规方法和步骤去算，使计算变得既费事又易错，直接影响了计算效率。计算教学作为数学课程的一个内容，不应只满足于学生会算、算得快，更重要的是使学生学会思考，能够根据算式的特点，寻求合理、简捷的运算途径和方法，发展思维能力。计算教学中长期存在的重技能、轻能力倾向，该是引起我们重视的时候了。为此，本文提出“以计算品质的培养贯穿计算教学的全过程”这一理念来指导计算教学。下面就这个问题谈几点看法。一、什么是计算品质任何事物(包括人的行为)都具有一定的品质，以区分同类事物的差异和水平。数学计算亦是如此，计算也有品质之分。那么，什么是计算的品质？它的内涵是什么？让我们先来看一个学生计算中的例子。一位教师在讲了两位数乘两位数的乘法之后，出了一道题，计算25×14，许多学生用刚学习的竖式乘法得到积为350。接着教师进行了讲评，结束时，问大家还有什么问题。一位学生站起来，问道：“老师，我还有一种算法，把14拆成10和4，用25乘10得250，再用25乘4得100，然后相加，等于350。这样做可以吗？”这一问题令教师感到十分意外，但仔细一想：对呀!这道题可以不用竖式乘法去做。于是，对该算法给予了肯定。实际上，学生在这里将14分解为10＋4后运用了乘法分配律：25×14＝25×(10＋4)(根据：自然数的分解)＝25×10＋25×4(根据：自然数乘法分配律)＝250＋100＝350(根据：三位数加三位数计算方法)。显然，后一种算法比前一种算法简便、易算，反映了这位学生与其他学生不同，思维灵活。可见，计算不是机械地按照计算规则进行的程序操作，而是灵活运用计算规则、运算律等知识求值的思维过程。同时，计算也是一种推理，是依据数的概念、运算意义、运算法则、运算性质、运算律等知识所进行的数值关系的推理。通过推理，将算式(数与数之间的运算关系式)最后演绎为一个数。与其他形式的数学推理相比，乃是“至精至简的推理”。由此，笔者认为，将计算品质界定为“计算的思维品质”是恰当的。它既反映了思维的品质特性，又反映了计算的特性。那么，计算品质应包括哪些方面呢？为此，我们简要地回顾上个世纪50年代以来我国小学数学课程标准(或教学大纲)有关计算的目标要求。1950年的《小学算术课程暂行标准(草案)》指出，应“指导儿童具有正确和敏捷的计算技术和能力”；1963年的《全日制小学算术教学大纲(草案)》指出，“小学算术教学的目的是……培养学生正确地、迅速地进行四则计算的能力”；1978年的《全13制十年制学校小学数学教学大纲(试行草案)》指出，“小学数学教学的目的是……能够正确地、迅速地进行整数、小数和分数的四则计算”；1988年的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲(初审稿)》指出，“使学生能够正确地进行整数、小数和分数的四则计算”；2001年的《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》提出，“能应用运算律进行一些简便运算”，“提倡计算方法多样化”。2由此可见，历次制定的“数学教学大纲”以及新近制定的“数学课程标准(实验稿)”中，对计算(或运算)是有明确要求的，即计算要正确(准确性)、迅速(熟练性)、方法多样化(灵活性)及运算简便(简捷性)。笔者认为，这一要求是科学的、正确的，充分概括了计算品质的内涵，对计算教学实践具有重要的指导意义。它不仅成为小学阶段的要求，而且一直贯穿于初中和高中。例如，1992年的《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用)》明确指出，“运算能力是：不仅会根据法则、公式等正确地进行运算，而且理解运算的算理，能够根据题目条件寻求合理、简捷的运算途径。”2000年的《全日制普通高级中学数学教学大纲(试验修订版)》亦重申，“运算能力是指：会根据法则、公式正确地进行运算，并理解算理，能够根据问题的情景，寻求与设计合理、简捷的运算途径。”在计算品质的“四性’’当中，计算的准确性是基础，是计算的最基本的品质。如果说计算的准确性和熟练性主要反映了计算技能的品质，那么计算的灵活性和简捷性则表现了计算(运算)能力的品质。二、如何培养学生计算的准确性作为计算品质，计算准确性是指学生在计算中表现出的计算正确率高低程度的心理品质。这里所说的计算正确率高低程度，不是指学生某次练习或测验的正误情况，而是指学生在一段时间里所表现出的计算正确率高低的总体情况。在教学中，学生的计算准确性是有差异的。例如，有些学生在计算中经常出现错误，其正确率总在70%上下徘徊；而另一些学生虽然练习中也曾出现过计算错误较多的情形，但大多数情况下正确率能保持在90％以上。不难看出，上述两类学生的计算品质存在着明显的差异：前者计算的准确性比较低，后者的计算的准确性比较高。计算准确性是衡量计算品质的基本指标。在计算教学中，教师常常为部分学生经常出现计算错误而头疼、伤脑筋。为改变这一现状，许多教师通常采用的补救办法是做大量的重复性练习，以强化记忆。实践表明，这样做在学习初期确能收到一定效果，计算的正确率会有明显的提高。然而，当计算正确率达到一定程度以后，练习的效果就不那么明显了，从统计意义上讲，甚至没有效果，出现所谓的“高原现象”有研究者在实验中还发现，重复练习时间过长后，学生会产生厌烦情绪，练习兴趣呈明显下降趋势，效果每况愈下，计算正确率反而下降了，真可谓得不偿失。因此，为了提高学生计算的准确性，首先要清楚是哪些因素影响了学生计算的准确性。实践表明，影响学生计算准确性的因素很多，从认知上讲，包括数概念的理解，运算意义的理解，运算法则、运算性质的掌握的熟练程度，对运算律意义的理解和掌握等多个方面；从非认知上讲，包括学习习惯、学习心理、学习态度和情绪等因素。那么，如何提高学生计算的准确性，减少计算中的错误呢？为此，我们应搞清错误性质和原因，针对不同的情形采取相应措施加以解决。一般来说，学生在计算中出现的错误大致可以分为两类：一类是概念、法则性错误，这是学生在初学某种计算时最为普遍的错误现象；另一类是非概念、法则性错误，这类错误往往没有规律性，是由各种随机因素导致的偶然出现的错误(如抄题时看错了数字，计算中把乘号看成加号等)。下面就如何减少计算中的概念、法则性错误，谈几点看法。(一)注重数意义和计算意义的理解数意义和计算意义的理解是掌握计算方法的基础。在小学阶段，学生所接触到的自然数(非负整数)和分数，是性质完全不同的两类数，它们的意义对同类计算的意义和计算方法有着直接的影响。自然数是表示物体个数(基数特性)和排列次序(顺序特性)的数。“l”是自然数的单位，逐次加1是自然数的基本特性。数位、计数单位和进率是自然数中三个重要的基本概念。建立在表示物体个数基础上的自然数的加法，其意义是表示求同类物体合起来是多少。自然数加法的这个意义不但明确了什么样的问题可以用加法解决，而且还解决了怎样求“和”的方法：数数。3如3＋2，既可以表示3个苹果与2个苹果的和，也可以表示3箱梨与2箱梨的和。我们可以在3个苹果(或3箱梨)的基础上，接着数，得到4个苹果(或4箱梨)；再接着数，得到5个苹果(或5箱梨)。于是有3＋2＝5。与自然数意义不同，分数的基本意义是表示“份数”多少的数，即整体被平均分后，表示所占“份数”多少的数。分数b/a(a、b为自然数，a≠0)的单位是1/a。与自然数加法不同，分数加法的意义是求相同分数单位的“份数”合起来是多少，即和表示有多少个分数单位，而不是多少个同类物体。因此，在计算方法上，必须是同一分数单位下的“份数’’才能直接相加。这是分数加法计算的关键所在。如2/7＋3/7的意义是表示2个1/7与3个1/7合起来是多少个1/7，这里1/7是2/7、3/7的同一分数单位。据此，可得到和是(2＋3)个1/7，即5个1/7，表示为5/7。如果分母不同的两个分数相加，如1/2＋1/4，由于它们的分数单位不同，必须化成同分母的分数(通分)，得到同一分数单位以后，才能直接相加。上面的加法例子说明，不是同类数的同一种计算，其意义和方法在思维方式上是有区别的。那么，学生是否能意识到这一区别呢？下面，我们以学习“异分母分数加减法’’为例，来了解学生是怎样认识的。北京有几位教师为此做了专项调研。在教学异分母分数加减法之前，教师不作任何提示和说明，作为探索性练习，要求全班学生自主计算1/4＋1/2的和。调研结果显示，在一所生源较好的小学里，有50％以上的四年级学生(样本量n＝41)错误地采用分母加分母、分子加分子的方法求和；而在一所生源一般的小学里，则有54％以上的四年级学生(样本量n＝44)误用分母加分母、分子加分子的方法计算。这一情况说明，尽管学生已经有了同分母分数加减运算的知识和经验，但有超过半数的学生并未自然地意识到自然数与分数意义下加减运算的区别。原因是他们对分数的意义和分数加减运算的意义还印象不深，尚未达到熟记于心、运用自如的程度。由此可见，在异分母分数加减法教学中，为减少负迁移的影响，应首先注重数的意义和计算的意义的理解，这样才有可能取得好的教学效果。事实正是如此。一项实验研究的结果表明，在分数的正方形模型（用直观表示1/2＋1/4）的启发下，在一所生源较好的小学里，有77.5％的四年级学生(样本量n＝40)能借助模型获得正确结果；而在一所生源一般的小学里，有34.1％的四年级学生(样本量n＝44)在自主探索“1/2＋1/4’’异分母分数加法计算中，能借助上述直观模型得到正确结果。这说明借助分数直观模型对学生理解分数意义和分数加法意义有明显的帮助作用，会收到事半功倍的教学效果。“异分母分数加减法”的教学案例，给了我们这样一个重要启示：在计算教学中，一定要注重数意义和计算意义的理解，它是计算准确性的基础，不可忽视。(二)明了计算过程中每一步的算理算理是由数学概念、性质、运算律等内容构成的数学基础知识，它为算法提供了理论根据。明了算理是正确掌握计算方法的关键。然而，算理在计算过程中是不显现的，它蕴含在算法之中。从某种意义上讲，算法是算理的外在表现形式。学生在计算过程中只有明了算理，才有可能正确地进行计算。目前，多数教师已经认同：只讲算法不讲算理的计算教学是不可取的。那么，如何帮助学生在计算过程中理解算理？通常有两种做法。1．注重在直观情境中理解算理这是因为，认识来源于实践，而实践是具体的、情境化的。帮助学生在直观情境中理解算理，其目的是引导学生从计算知识产生的源头上，经历实践、认识、再实践、再认识……的思维过程，经过概括、抽象，从而理解算理在形成方法性(即程序性)知识中的作用。以“分数乘整数的乘法”为例，北师大版《数学》五年级下册教材中设计了如下问题情境：“1个占整张纸的1/5，3个占整张纸的几分之几？”并呈现了三位学生不同的探索思路：(1)从直观图中直接得到答案；(2)用加法计算；(3)用乘法计算。笔者认为，教材呈现的三位学生的解决问题方式实际上反映了不同层次的思维方式，即直观思维和概4念思维。对新的计算方法学习，一般要经历建立模型和探索算法两个环节，理解算理应体现于这两个教学环节之中。为此，可以设计以下几个问题，以帮助学生理解“分数乘整数的乘法”的算理。(1)列算式，理解分数乘法算式的意义。教学活动：①根据所学过的知识，求3个占整张纸的几分之几，可以列出怎样的算式？(预设学生可能的回答：列加法算式“1/5＋/1/5＋1/5”或乘法算式“3×（1/5）”)②说一说列分数乘法算式的理由(目的是使学生知道，我们是根据自然数乘法意义(类比)列出分数乘法算式的)，以及解释3×（1/5）的意义(目的是结合松树图案的情境理解3×（1