任意角的三角函数(教学案)

1.2.1任意角的三角函数【教学目标】（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.【教学重难点】重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点:任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.【教学过程】一、【创设情境】提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点(,)Pab,它与原点的距离220rab.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.则sinMPbOPr;cosOMaOPr;tanMPbOMa.思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点P在的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP的长1r的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sinMPbOP;cosOMaOP;tanMPbOMa.思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.二、【探究新知】1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似yP（a，b）r错误!未找到引用源。OMa的终边P(x,y)Oxy锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)Pxy,那么:(1)y叫做的正弦(sine),记做sin,即siny；（2）x叫做的余弦(cossine),记做cos,即cosx；（3）yx叫做的正切(tangent),记做tan,即tan(0)yxx.注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)Pxy，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离22rxy,那么22sinyxy,22cosxxy,tanyx.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：三角函数定义域第一象限第二象限第三象限第四象限角度制弧度制sincostan5.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sinkcos(2)cosk(其中kZ)tan(2)tank6.三角函数线设任意角的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(,)xy，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点(1,0)A作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点T.由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段,OMxMPy，于是有sin1yyyMPrMPcos1xxxOMrOMtanyMPATATxOMOAAT我们就分别称有向线段,,MPOMAT为正弦线、余弦线、正切线。我们把这三条与单位圆有关的有向线段MPOMAT、、,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.7.例题讲解例1．已知角α的终边经过点(2,3)P，求α的三个函数制值。解：(2,3)4913Pr33sin13131322cos13131333tan22变式训练1：已知角的终边过点0(3,4)P，求角的正弦、余弦和正切值.解：4sin5yr,3cos5xr,4tan3yx.例2．求下列各角的三个三角函数值：oxyMTPAxyoMTPA（Ⅰ）（Ⅱ）xyoMTPAoxyMTPA（Ⅳ）（Ⅲ）（1）0；（2）；（3）32．解：（1）sin0=0cos0=1tan0=0（2）sin0,cos1,tan0（3）33sin1,cos022变式训练2：求53的正弦、余弦和正切值.例3．已知角α的终边过点(,2)(0)aaa，求α的三个三角函数值.解析：计算点到原点的距离时应该讨论a的正负.变式训练3：求函数xxxxytantancoscos的值域.解析：分四个象限讨论.答案：{2，-2，0}例4．.利用三角函数线比较下列各组数的大小：1.32sin与54sin2.tan32与tan54三、【学习小结】(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?(2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?(3)请写出各三角函数的定义域；(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?(5)三角函数线的做法.四、【作业布置】作业：习题1.2A组第1,2题．五、【板书设计】1.2.1任意角的三角函数（一）复习引入（二）概念形成1.三角函数定义2.三角函数线（三）例题讲解小结：1.21任意角的三角函数课前预习学案一、预习目标：1.了解三角函数的两种定义方法；2.知道三角函数线的基本做法.二、预习内容：根据课本本节内容，完成预习目标，完成以下各个概念的填空.三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.二、重点、难点重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点:任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.三、学习过程（一）复习：1、初中锐角的三角函数______________________________________________________2、在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为_______________________________________________（二）新课：1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,)xy，它与原点的距离为2222(||||0)rrxyxy，那么（1）比值_______叫做α的正弦，记作_______，即________（2）比值_______叫做α的余弦，记作_______，即_________（3）比值_______叫做α的正切，记作_______，即_________；2．三角函数的定义域、值域函数定义域值域3．三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值yr对于第一、二象限为_____（0,0yr），对于第三、四象限为____（0,0yr）；②余弦值xr对于第一、四象限为_____（0,0xr），对于第二、三象限为____（0,0xr）；③正切值yx对于第一、三象限为_______（,xy同号），对于第二、四象限为______（,xy异号）．4．诱导公式由三角函数的定义，就可知道：__________________________即有：___________________________________________________________________________5．当角的终边上一点(,)Pxy的坐标满足_______________时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。设任意角的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(,)xy过P作x轴的垂线，垂足为M；过点(1,0)A作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点T.由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段,OMxMPy，于是有sinycosytanyoxyMTPAoxyMTPAxyoMTPAxyoMTPA（Ⅳ）（Ⅱ）（Ⅰ）（Ⅲ）sin1yyyMPr，_______cos1xxxOMr，________tanyMPATATxOMOA．_________我们就分别称有向线段,,MPOMAT为正弦线、余弦线、正切线。（三）例题例1．已知角α的终边经过点(2,3)P，求α的三个函数制值。变式训练1：已知角的终边过点0(3,4)P，求角的正弦、余弦和正切值.例2．求下列各角的三个三角函数值：（1）0；（2）；（3）32．变式训练2：求53的正弦、余弦和正切值.例3．已知角α的终边过点(,2)(0)aaa，求α的三个三角函数值。变式训练3：求函数xxxxytantancoscos的值域例4．.利用三角函数线比较下列各组数的大小：1.32sin与54sin2.tan32与tan54（四）、小结课后练习与提高一、选择题1.是第二象限角，P（x，5）为其终边上一点，且x42cos，则sin的值为（）A.410B.46C.42D.4102.是第二象限角，且2cos2cos，则2是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3、如果,42那么下列各式中正确的是（）A.costansinB.sincostanC.tansincosD.cossintan二、填空题4.已知的终边过（a39，2a）且0cos，0sin，则的取值范围是。5.函数xxytansin的定义域为。6.4tan3cos2sin的值为（正数，负数，0，不存在）三、解答题7.已知角α的终边上一点P的坐标为（3,y）（y0），且2siny4，求costan和