仿射几何及其在初等几何的应用

仿射几何及其在初等几何中的应用第1页共9页仿射几何及其在初等几何的应用冯朝华摘要：数学概念的辨证性质，渗透贯穿在数学各个部分之中，数学概念是研究数学性质的最基本的条件，我们从仿射变换的有关概念入手，了解仿射几何所研究的几何通过仿射变换的不变性质和不变的数量关系以及经过变形后的形状和位置关系，并讨论仿射几何在初等几何中的一些应用。关键字：平行射影简比仿射性仿射量共线点定义1对于a和a′是平面不平行的两条直线，设l为平面上一条直线，通过直线a上的诸点A，B，C，D，……作l的平行线，交a′于A`，B`，C`，D`，……，这样便定义了直线a到a′的一个映射。称为透射仿射(平行射影)，a上的点为原象点，a′上的点为象点，l为平行射影的方向，记这个透射仿射为T，则写A′=T(A)。有了以上的定义后，我们来观察一种较常见的几何变形——平面到平面的透射仿射。如下图所示，设π与π`为空间中的两个平面，l是跟这两个平面都不平行的方向(向量)。平面π上的直线a，对过直线上的点A作平行于l的直线交平面π`于点A`，用同样的方法可作出点B和点C的对应点B`，C`。于是便建立了平面π到π`的对应关系。称为π到π`依方向l的透射仿射。根据初等几何的知识，我们很容易可以验证这种平行投影具有以下的性质：○1π与π`之间的点建立一一对应关系，即π上的点通过变换成为π`上点；π上的直线变成了π`上的直线；○2若一个点A在l上，则A的对应点A`也应在l的对应直线l`上；○3π上平行的两直线变到π`上的两条直线也是平行的。○4直线上的三点的“单比(简比)”保持不变，也就是如果A,B,C是π上共线的三点，A`，B`，C`分别是它们的象点，则BCABCBBA````。我们把○1称为透射仿射具有同素性，把满足○2称为透射仿射具有结合性。而满足○3则称为透射仿射具有平行性。这是二平面间的透射仿射变换的概念和一些性质，利用此可以建立仿射变换的概念。gππ`lABCA`B`C`aa`πaa`ABCA`B`C`l图1-1图1-2仿射几何及其在初等几何中的应用第2页共9页定义2如果有π1，π2，……πn+1个平面且πi和πi+1(i=1，2，……，n)两个平面间建立透射仿射变换，就形成了一个透射仿射变换链，最初一个平面π1和最后一个平面πn+1之间的一一对应就叫仿射变换。所以仿射变换是由组成它的透射仿射变换来决定的，也就是说，透射仿射变换是特殊的仿射变换。仿射变换应该是有限次透射仿射变换的乘积。如果平面π与平面πn+1重合，则π到π`的仿射对应叫做平面π到自身的仿射变换。由上述可知，透射仿射变换和仿射变换是有区别的：1、透射仿射变换的对应点连线相互平行的，而在一般情况下，仿射变换的对应点的连线是不平行的。当π1//π2//……//πn+1或是π1，π2，……πn+1共线时，π1到πn+1的对应点的连线是平行的。(证明略)(反之则不真)2、二平面的透射仿射变换，当两平面相交时，其交线为自对应轴，也就是说，交线上的每个点都是自对应的。而两平面的仿射变换一般没有自对应轴。仿射几何是研究仿射不变性和仿射不变量的学科。所谓仿射不变性和不变量是指：○1图形经过仿射变换后不改变的性质。也有称之为仿射性。○2图形经过仿射变换后不改变的量，称为仿射不变量，或叫做仿射量。根据仿射的定义可知到，同素性，结合性是最基本的仿射不变性，而共线三点的单比不变则是最基本的仿射不变量。定理1二直线间的平行性是仿射不变性证明：设a，b是平面π内的两条平行线，a`，b`是它们在平面π`内的仿射映象，因此只需证明a`//b`。ππ`aba`b`P`P若a`与b`不平行，则在平面π`中必相交于一点P`，且使P是P`的原象点，那么由于仿射保留结合性，点P应该既在a上又在b上，既是说a和b是相交而不是平行，矛盾！所以a`//b`，所以命题成立。于是进一步可知：推论1.1平行四边形是仿射不变图形。因为两组对边分别平行，通过仿射变换后也应该是分别互相平行。推论1.2两直线的相交性是仿射不变性。推论1.2.1共线的直线经过仿射变换后任变成共点的直线。推论1.2.2梯形是仿射不变图形。图1-3仿射几何及其在初等几何中的应用第3页共9页例1线段的中点具有仿射不变性。证明：设C是线段AB的中点，且在仿射变换下，A→A`，B→B`，C→C`。由仿射变换保结合性，故C`在直线A`B`上，又因为共线三点的单比是仿射不变量，于是有1````CBACBCBA即C`任是A`B`的中点。所以，线段的中点具有仿射不变性。定理2两平行线段之比是仿射不变量在此用综合法来证明。证明：如下图，已知AB//CD，经过仿射变换φ后，AB的象为A`B`，CD的象为A`B`，下证````BADCABCD。CEDBAA`B`C`E`D`φ由于仿射变换保持结合性，可知AD的象为A`C`。作BE//CD于E则ABCD为平行四边形，∴AB//CDAC//BE。若E的对应为E`，由结合性可知，E`在C`D`上。BE的象为B`E`。由仿射变换保平行性，可知A`C`//B`E`。由AB//CD，可知A`B`//C`D`，即A`B`//C`E`。∴A`B`E`C`为平行四边形。A`B`=C`E`又（DEC）=D`E`C`）∴````CECDECDC而EC=BA∴````ABDCBADC即````ABDCABCD推论2.1证明一条直线上两线段的比是仿射不变量。证明：如下图，直线l有两线段AB和MN，图1-4仿射几何及其在初等几何中的应用第4页共9页)()(BMNABMMNBMBMABMNMBMBABMNAB而(ABM)和(BNM)是仿射不变量ABMN∴MNAB也是不变量。定义3笛氏坐标系在仿射对应之下的象叫做仿射坐标系。在此引入仿射变换的代数形式：对于笛氏坐标系的点P（x，y）,通过仿射变换T后，在仿射坐标系的象为P`（x`，y`），其中;,232221131211yaaxayayaxax其中22211211,,,aaaa满足条件022211211aaaa定理3两个三角形面积之比是仿射不变量。推论3.1两个平行四边形面积之比是仿射不变量。推论3.2两个封闭图形面积之比是仿射不变量。仿射变换的反射不变性和不变量及其一些性质使一些一般性问题的解决可以通过仿射变换，变成特殊情形处理，使之以解决。下面举例说明仿射变换在初等几何中的应用。例2三角形两边的中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半。分析：△ABC是等边三角形，E、F分别是AB，AC的中点，很容易知道EF//CD，且BCEF21。ABCEFA`E`F`B`C`对于任何的三角形，存在一个仿射变换T使A→A`，B→B`，C→C`，而仿射变换中，E的象为E`，F的象为F`，分别是A`B`，A`C`的中点，又由仿射变换的平行性图1-5图1-6仿射几何及其在初等几何中的应用第5页共9页和保平行线段之比不变，因此E`F`//B`C`，且``21``CBFE。例3试证：连接平行四边形的一个顶点到对边中点的的直线三等分对角线。证明：我们作一个由两个等边三角形和成的菱形ABCD，E，F，M，N是个边的中点，很容易证明AE、CM、BD交于点P，AM、CF、交于点Q，而且BP=AP=AQ=PQ=QD，即P，Q三等分BD。因为平行四边形是仿射图形，任意的两个平行四边形是仿射全等的，所以唯一存在一个仿射变换φ，使得A→A`，B→B`，C→C`，D→D`。M，N，E，F的对应点分别是M`，N`，E`，F`。ABCDEFPQOφA`B`C`D`E`F`P`Q`O`M`N`MN根据以上的作法，由仿射变换保同素性和结合性可知，P→P`，Q→Q`，P`是A`E`，C`M`，B`D`的公共点，Q`是A`N`，C`F`，B`D`的交点。再由仿射变换保持直线上两段线段的比不变，于是有B`P`=P`Q`=Q`D`，所以P`，Q`三等分B`D`。仿射变换有时可以容易地解决共点和共线的问题例4在梯形ABCD中，AD//BC，E，F分别为上、下底边的中点。AC、BC交于G，BA、CD交于M，证明：M、E、G、F共线。分析：此题为点共线的问题，考虑梯形有一对对边平行，考虑是否能由特殊的等腰梯形来转化，进一步考虑是否能在一个等腰三角形中截取？证明：任作一个等腰三角形M`B`C`，因为任意两个三角形是仿射等价的，所以一定存在唯一的一个仿射变换T，使(△M`B`C`)T=△MBC，其中M`→M，B`→B，C`→C，在M`B`上取一点A`，使(M`B`A`)=(MBA)。过A`作A`D`//B`C`与M`C`交于D`。MBACDGEFM`B`A`C`D`G`E`F`连B`D`、A`C`，M`F`容易证明，在等腰梯形中，两底中点，两对角线交点，两腰交点，这四点共线，即M`，E`，G`，F`共线。根据以上作法，仿射变换保同素性和结合性。所以，A`→A。又因为图1-7图1-8仿射几何及其在初等几何中的应用第6页共9页(A`C`D`)=(ACD)所以D`→D。所以由M`，E`，G`，F`共线可知M，E，G，F共线。类似的，我们可以得到另一个结论：若四边形两组对边的交点的连线与四边形的一条对角线平行，那么，另一条对角线的延长线平分上述的连线。引理1（帕斯卡定理）若六点形的六个顶点落在圆上，并且它的三对对边分别相交，则这三个交点共线。（由于篇幅，证明略）例5若椭圆内接四边形ABCE的对边都不平行，过点A，点C的切线的交点为K，AB与CE的交点为P，BC于EA的交点为Q，证明：P、K、Q共线。因为圆的仿射图形是椭圆，仿射是可逆的，也就是说存在为一的一个仿射变换使圆O变成椭圆O`，由于仿射变换的同素性和结合性，要证明P、K、Q共线，只需证明P`，K`，Q`共线。证明：存在唯一的仿射变换φ，使椭圆O通过变换φ变成圆O`，由于仿射变换的同素性和结合性可知，椭圆的内接四边形ABCE的对应图象为四边形A`B`C`E`，A→A`，B→B`，C→C`，E→E`显然，A`，C`是圆O`的切点，P`，Q`分别是P，Q的对应点，K→K`，因为仿射变换是可逆的，而且仿射变换的逆变换仍为仿射变换，根据仿射变换的结合性可知，若P`，K`，Q`共线，则可知P，K，Q共线。下证P`，K`，Q`共线。A`B`C`E`K`P`Q`O`PKQABCEOφ四边形A`B`C`E`可以看成是退化了的六点形，其中假定A`=D`，C`=F`，A`和D`的连线是过A`的切线，同理，C`F`的连线为过C`的切线。因为点P是AB，CE的交点，由仿射变换保结合性可知，P`是A`B`，C`E`的交点。同理得，Q`是A`E`，B`C`的交点，K`是过A`的切线和过C`的切线的交点。又由帕斯卡定理可知，圆内接且对边换不平行六点形的三对对边的交点共线，所以，P`，K`，Q`共线。所以，由仿射变换保结合性，故P，K，Q共线。例6证明椭圆的外切三角形A`B`C`，顶点与对边上的切点连线交于一点。分析：此题是关于线共点的问题，由于椭圆的一般性以及三角形的一般性，用初等几何比较难入手，但可以用仿射几何的方法进行转化，变成特殊的圆以及正三角形来加以研究。证明：由于容易证到一个正三角形ABC，其内切圆在对边上的切点与顶点连线交于一点K，可以用仿射变换方法。因对于△ABC与△A`B`C`存在唯一的一个仿射变换φ，使A→A`，B→B`，C→C`，(如下图)图1-9仿射几何及其在初等几何中的应用第7页共9页A`ABCKC1B1C`B`C1`B1`A1`A1`K`由于仿射变换保持结合性不变，△ABC的内切圆与各边切点分别为A1，B1，C1由于仿射变换是一一变换，切点任应变为切点。所以A1→A1`，B1→B1`，C1→C1`，K→K`。所以由AA1BB1，CC1共点可知A1`A`，B1`B`，C1`C`共点K`。仿射变换保持闭合图形面积的性质在一些面积问题的解决方面提供了直观的解决方法。例7三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六等分。证明：对于等边三角形ABC，K是三角形三条中线的交点，容易证明，三条中线把三角形