仿射变换在初等几何中的应用_三稿

1仿射变换在初等几何中的应用摘要：仿射变换，即平行投影变换，是几何学中的一个重要变换，是从运动变换过渡到射影变换的桥梁。在初等几何中，仿射图形经过平面仿射变换，可以由对特殊几何图形的证明，得出对一般几何图形的证明。而且，根据仿射变换的性质，可以把特殊图形的命题推广到一般图形，从而达到事半功倍的效果。本文将探讨应用仿射变换中的仿射不变性质与仿射不变量来解决一些初等几何问题。关键词：仿射变换；仿射不变性；仿射图形；初等几何问题。2.仿射变换基本概念及有关性质2.1定义设同一平面内有n条直线1a，2a，3a，…na，如图2.1，1T，2T，3T，…1nT顺次表示1a到2a，2a到3a，1na到na的透视仿射，经过这一串平行射影，使1a上的点与na上的点建立了一一对应，称为1a到na的仿射或仿射变换T=1nT122TTTn，T称为1T，2T，3T，…1nT按这个顺序的乘积。T(A)=1nT122TTTn(A)=1nT)(22ATTn=…=A，T(B)=B等等CABDA'B'C'D'A''B''C''D''dcba图2.1仿射变换的代数表示，即232221131211''ayaxayayaxax，其中22121211aaaa≠0定义2.2图形经过任何仿射变换后都不变的性质（量），称为图形的仿射性质（仿射不变量）。(1)仿射变换保持同素性；2(2)仿射变换保持结合性；(3)仿射变换保持共线三点的简比不变；定义2.3设A，B，C为共线三点，这三点的简比ABC定义为下述有向线段的比：BCACABC其中AC，BC是有向线段AC，BC的代数长，A，B叫基点，C叫分点。当C在A，B之间时，ABC0；当C不在A，B之间时，ABC0；当C与A重合时，ABC=0；当C与B重合时，ABC不存在；特别地当C为线段AB的中点时，(ABC)=1。2.2仿射性质及仿射不变量定理1两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行直线。推论1两条相交直线经仿射变换后仍变成两相交直线。推论2共点的直线经仿射变换后仍变为共点直线。定理2两条平行线段之比是仿射不变量。推论一直线上两线段之比是仿射不变量。定理3两封闭图形（如三角形、平行四边形、椭圆等）面积之比是仿射不变量。3.仿射变换在初等几何中的应用根据仿射变换的性质可知，通过特殊仿射变换可将某些一般图形变为特殊图形，如可将任何三角形变成正三角形，平行四边形变为正方形或长方形，梯形变为等腰梯形或直角梯形。因此，对于一个仅涉及仿射性质的初等几何命题，如果能证明它在特殊图形中成立，则在仿射变换下，这个命题对于相应地一般图形也应成立。利用仿射变换可以解决许多初等几何问题，下面给出它在以下几个方面的应用。3.1平行投影平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类。因此平行投影变换具有仿射变换中的一切性质。解这类题的关键是选定平行投影方向，应用平行线段之比是仿射不变量。3例1P是ABC内任一点，连结AP、BP、CP并延长分别交对边于D、E、F。求证：1CFPFBEPEADPD.EDFP''ABCPP'图1证明：如图1，分别沿AB和AC方向作平行投影。P→P、P→P由仿射变换保简单比不变得，DCDPBDDPADPD'''，所以BCPPADPD'''，同理BCCPBEPE''，BCBPCFPF'，所以1''''''BCBPBCCPBCPPCFPFBEPEADPD.3.2三角形仿射等价性因为任一三角形可以经过平行投影变成正三角形。因此，如果我们要证明一个有关三角形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明命题对正三角形成立，便可断言命题对任意三角形也成立。而正三角形是最特殊的三角形，它有很多特殊的性质可以利用，证明起来要容易得多。例2在ABC的中线AD上任取一点P，连接BP、CP，并延长BP交AC于E，延长CP交AB于F，求证：EF∥BC.P'TD'C'PDBACA'B'EFE'F'图2证明：如图2，作仿射变换T，使得ABC对应正CBA，由仿射性质可知，点D、P、E、F相应地对应D、P、E、F，且DA为正CBA的中线。在正CBA中DA也是CB边上的高，且B、P、E与C、P、F关于DA对称，4E、F到CB的距离相等，则FE∥CB，由于平行性是仿射不变性，因此，在ABC中EF∥BC.3.3证明有关平行四边形仿射性质的实例任一平行四边形均可以经过特殊平行投影变成正方形，因此，若想证明一个有关平行四边形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明相应命题对正方形成立即可。例3已知在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F在AD上，DFAF21，EF交AC于G，求证：ACAG51.GM'G'N'fP'E'A'C'ECDBAD'B'FF'图3证明：如图3，作仿射变换f，使得，平行四边形ABCD对应正方形DCBA，则由仿射性质可知，点E、F、G分别对应E、F、G，且E是DA的中点，FDFA21.在正方形DCBA中，取DC的中点P，过B、D、P作FE的平行线，分别交CA于点H、M、N。由平面几何知识易证，CAGA51，由于简比是仿射不变量，所以在平行四边形ABCD中，ACAG51.3.4证明有关梯形仿射性质的实例任一梯形均可以经过平行投影变成等腰梯形，若想证明一个有关梯形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明相应命题对等腰梯形成立即可。例4在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别为AD、BC的中点，对角线AC与BD交于E点，腰AB与CD交于F点，求证：M、N、E、F四点共线。5EB'gE'N'C'M'NMDBFCAA'D'F'图4证明：如图4，作仿射变换g，使梯形ABCD对应等腰梯形DCBA，则由仿射性质可知，点M、N、E、F依次对应M、N、E、F，其中M、N分别为DA与CB的中点。在等腰梯形DCBA中，由对称性可知，NM是对称轴，E为对称直线CA与DB的交点，F为对称直线BA与DC的交点，因此，E、F必在直线NM上，即E、F、M、N四点共线。由于结合性是仿射不变量，所以在梯形ABCD中M、N、E、F四点共线。4.小结以上内容是对仿射变换在初等几何应用的简单总结，当然有些题有其他做法，但是应用仿射变换解决起来更简捷，方便。从例题可以总结得出应用仿射变换中的仿射不变性质与仿射不变量解题的步骤可概括如下：①判断求解的问题是否能利用仿射不变性质,仿射不变量求解，一般涉及到点共直线，直线共点，线段比，面积比等一类问题皆可应用仿射变换解题。②选择合适的仿射变换，找出所给图形的合适的仿射图形。③在仿射图形中求证，写出具体的仿射变换及解题过程。但值得我们注意的是，所考虑的问题都必须是仿射性质的问题，否则这种方法就不适用了。如有关线段长度，直线垂直，直线夹角大小的问题属于非仿射性质，自然就不能使用平行投影的方法解决。