第七章-能量积分法

第七章能量积分法在前面几章内，讨论了定解问题的几种解法，或者说就是考虑怎样把定解问题的解找出来。至于解的本质，基本上未加讨论。第一章已讲过，定解问题的适定性包含三个方面的内容，除了解的存在性以外，还要考察解是不是只有一个（惟一性）、解是不是连续地依赖于定解条件（稳定性）。在这一章内，我们利用能量积分的方法来证明波动方程定解问题的解既是惟一的也是稳定的。§7.1一维波动方程初值问题的能量不等式在这一节内，我们将就弦振动问题导出振动弦的动能和位能的表达式，然后再证明总能量（动能与位能的和）所满足的不等式。由物理学知，若质点的质量是m，在时刻t其速度是v，则它在时刻t的动能为212mv。现在考虑弦上的元素ds，当弦作微小横向振动时dsdx，它在时刻t的速度为tu，所以ds在时刻t所具有的动能近似地为212tudx，其中是弦的密度（一般来说是x的函数），整个弦在t时刻的动能为2012ltUudx（7.1）再看弦在t时刻的位能（或称势能），所谓位能就是使弦变形时所做的功。假设弦的不受外力作用，则使弦变形的力只有张力，反抗张力所做的功就是弦的位能的增量。由第一章§1.1中第一个例子可知，当弦的振幅很小时，它的张力可以看作是一个常向量，其大小记作T，张力在位移方向的分量是近似于xTu。在这个力的作用下，弦变形了，其位移的增量是xuduudx。所以弦上元素ds在t时刻的位能近似为212xTudx，整个弦在t时刻的位能为2012lxVTudx（7.2）当然，如果除了张力T以外，在t时刻在弦位移方向还受到密度为(,)fxt的外力作用，这时位能应为201()2lxVTufudx（7.3）将（7.1）和（7.2）（或（7.3））相加，即得弦在t时刻的总能量2201()()2ltxEtuTudx（7.4）或22011()()22ltxEtuTufudx（7.5）如果是常数，并不计常数因子，（7.4）可以表示为2220()((,)(,))ltxEtuxtauxtdx（7.6）其中2Ta。或者更简单地写成220()((,)(,))ltxEtuxtuxtdx（7.7）我们把（7.6）或（7.7）称为能量积分，或称为u的能量模（有时将其正平方根称为u的能量模）。现在来考察初值问题2222200(,),,0,(),,(),,tttuuafxtxttxuxxuxx（7.8）设u是（7.8）的解（古典解），为了建立能量不等式，我们过点00(,)xt作特征线00()xxatt，它们与x轴相交于00(,0)xat及00(,0)xat，这两条特征线与x轴所围成的区域记作K。任取00t，令（图7.1）{0}KKt（侧边围特征线的梯形），0000{}((),())tKtxatxat（区间）.在（7.8）中的波动方程两端同乘以ut并在K上积分，得22222()KKuuuuadxdtfdxdtttxt（7.9）先计算上式左端的积分，由于2221()2uuutttt222()()1()()2uuuuuutxxtxxtxuuuxtxtx代入（7.9）可得22221{[()()]()}2KKuuuuuaadxdtfdxdtttxxtxt利用格林公式得22221()[()()]2KKuuuuuadtadxfdxdttxtxt（7.10）其中K表示K的边界，它由上底、下底0及两侧边1与2所组成。把上式左端记作J，则012222222222211[()()]()221{()[()()]}2xuuJadxadxtxuuuuadtadxtxtx（7.11）将右端第三项记作1J，现在来估计1J。在1上，dxadt，在2上，dxadt，故12222212222200020001{()[()()]}21{()[()()]}2()()2()()20uuuuJadtaadttxtxuuuuadtaadttxtxauuadtxxatttxauuadtxxatttx（7.12）由（7.10），（7.11）与（7.12）得0222222[()()]()2xKuuuadxadxfdxdttxt（7.13）利用代数不等式222abab可得222[()]KKuufdxdtfdxdttt从而00222222222222222[()()]()()()[()()]xKKxKKuuadxtxuadxdxdtfdxdttuuadxadxdtfdxdttx（7.14）令0000222()2220()2220()[()()][()()][()()]KxattxattuuGadxdttxuuadxdttxuuadxdttx由（7.14）可知()G满足下列微分不等式()()()dGGFd（7.15）其中02222()()xKFadxfdxdt为了从（7.15）中解出()G，用e乘其两端得(())()deGeFd对上式在[0,]上积分，得0()()()(1)teGeFtdtFe故()(1)()GeF（7.16）将（7.16）代入（7.15）的右端，得()()dGeFd再由()G的表达式可得下列能量不等式：02222222[()()][()]xKuuadxeadxfdxdttx（7.17）注1上面我们推导了一维波动方程的能量积分及能量不等式，完全类似地可以得到弹性模或弹性振动时的能量及位能的表达式围：动能：212tUudx位能：22TVudx其中表示弹性物体所占的空间区域，x表示二维或三维欧氏空间的向量（12(,)xxx或123(,,)xxxx），u表示u的梯度，例如在三维空间内111uuuuxxxijk故3221()iiuux此外，用推导（7.17）的同样方法也可以得到高维波动方程的能量不等式，所不同的是过空间一点下作特征锥面（例如，对二维波动方程，过点000(,,)xxt作特征锥面：22000()()()attxxyy），而不是作特征线。注2不等式（7.16）称为Gronwall不等式，它说明只要非负函数满足微分不等式（7.15），即可得到（7.16）。更一般的情形是：如果()F是非负的不减函数，非负函数()G在[0,]上连续可微，(0)0G，且对[0,]T，它满足()()()dGcGFd则1()(1)()cGeFc证明的方法和推导（7.16）完全相同，只要用ce代替e。§7.2初值问题解的惟一性与稳定性仍然以一维问题为例来说明要证的结论。利用方程与初始条件的线性性，要证明问题（7.8）的解是惟一的，只要证明下列齐次问题：2222200,,00,,0,,tttuuaxttxuxux只有零解，而后者可以直接由（7.17）得到。事实上，当0f时，由（7.17）得222[()()]0uuadxtx故在内几乎处处有0uutx由于u是一个光滑函数，所以(,)ux常数。但是，当0t时0u，所以(,)0ux。下面来讨论解的稳定性，凡是谈到稳定性，首先要搞清楚解在什么意义下是稳定的。设有两个初值问题：2222200(,),,0(),,(),,1,2iiiitiitiuuafxtxttxuxxuxxit将两个问题中对应的方程相减得222121212221201212012()()(,)(,),,0()()(),,()()(),,ttuuuuafxtfxtxttxuuxxxuuxxxt对上面的定解问题利用能量不等式（7.17）得022212122221212212()()[()()][[()[])[(,)(,)]]xxKuuuuadxtxeadxfxtfxtdxdt（7.18）如果（7.18）的右端的值很小，即初值与方程中自由项在能量模意义下变化很小，则初值问题（7.8）的解也能在能量模意义下变化很小，也就是说，初值问题的解在能量模意义下连续地依赖于初始数据和自由项。§7.3初边值问题的能量不等式为了方便起见，我们还是考虑一维波动方程的初边值问题22222(,),(,){0,0},(0,)(,)0,0(,0)(),0,(,0)(),0,tuuafxtxtQxlttxutulttuxxxluxxxl（7.19）和§7.1中的做法相同，在（7.19）中方程的两端乘以tu后在长方形区域(0,)(0,){0,0}QlQxlt上积分，得2()tttxxtQQuuaudxdtufdxdt把左端积分号内的函数写成散度形式再用格林公式可得222211[()]22txxtxtQQuaudxauudtufdxdt即22220000222200()2()22ltxttxxltxttxxtlQuaudxauudtuaudxauudtufdxdt利用边界条件即初始条件得22222200()()2lltxtxttQuaudxadxufdxdt（7.20）由此可得222022220[(,)(,)]()ltxlxttQQuxauxdxadxudxdtufdxdt（7.21）令222()()txQGuaudxdt则由（7.21）可得()()()dGGFd（7.22）其中22220()()lxQFadxfdxdt由§7.1中注2所述的Gronwall不等式并利用表达式（7.6）可得2()((0))QEEfdxdt（7.23）这就是一维波动方程初边值问题的能量不等式，其中TMee，T是任意正数，(,)TxQ。从上面推导的过程中（见（7.20））可知，若0f，则()(0)EE。这说明，若没有外力作用，弦的能量是守恒的。作为能量不等式（7.23）的推论，和§7.2一样可以证明初边值问题（7.19）的解是惟一的，并且在能量模意义下连续依赖于初始数据和方程中的自由项。注1对于抛物型方程222(,)uuafxttx（7.24）来说，没有能量的概念，因此也就没有能量不等式，不过若抛开物体概念，也可以套用§7.1与§7.3中的方法来证明（7.24）的初值问题及初边值问题解的惟一性，所不同的是，在弦振动方程中用tu乘方程两端后积分，对（7.24）来说，是用u乘方程两端再进行积分。由于这个积分也具有波动方程能量积分类似的形式，所以有些书上也称为能量方法。注2利用能量方法也能证明定