二次函数与一元二次方程的关系以及实际应用

个性化教学辅导教案BeijingXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.教师姓名：学生姓名：王祎惠教学目标掌握二次函数解析式的求法理解抛物线cbxaxy2中，cba,,与函数图像的关系理解二次函数与一元二次方程的关系难点重点重点：二次函数与一元二次方程的关系难点：二次函数的实际应用【知识清单】1、抛物线cbxaxy2中，cba,,与函数图像的关系,,abc决定开口方向0,0,aa开口向上;开口向下.,,abc与b决定对称轴位置,,abab同号,在轴左侧;异号,在轴右侧.c决定抛物线与y轴交点的位置0,0,0,ccc交点在y轴的正半轴上;交点在原点;交点在y轴的负半轴上.式子cba的正负就是当x=1时，对应的函数值y=cba的正负。2、二次函数与一元二次方程的联系（1）y轴与抛物线2yaxbxc的交点为0c，.（2）抛物线与x轴的交点：二次函数2yaxbxc的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，就是对应一元二次方程20axbxc的两个实数根.抛物线与x轴的交点的个数可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.（3）平行于x轴的直线与抛物线的交点．可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是2axbxck的两个实数根.（4）抛物线与x轴两交点之间的距离．若抛物线2yaxbxc与x轴两交点为个性化教学辅导教案BeijingXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.1200AxBx，，，，由于1x、2x是方程20axbxc的两个根，故1212bcxxxxaa，222212121212444bcbacABxxxxxxxxaaaa（非重点）3、二次函数常用的解题方法（1）求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；（3）根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.【巩固练习】1、已知二次函数2yaxbxc的图象如图26-2所示，则下列结论中正确的判断是（）①0a②0b③0c④240bacA．①②③④B．④C．④②③D．①④2、已知二次函数2yaxbxc的图象如图26-3所示,下列结论中:①0abc②2ba③0abc④0abc正确的是【典型例题】【例1】小明、小亮、小梅、小丽四人共同探究代数式245xx的值的情况．他们作了如下分工：小明负责找值为1时x的值，小亮负责找值为0时x的值，小梅负责找最小值，小丽负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（）A.小明认为只有当2x时，245xx的值为1.B.小亮认为找不到实数x，使245xx的值为0.个性化教学辅导教案BeijingXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.C.小梅发现245xx的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值D.小丽发现当x取大于2的实数时，245xx的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值.【例2】已知二次函数2yxxa(0)a，当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（）A.1m的函数值小于0B.1m的函数值大于0C.1m的函数值等于0D.1m的函数值与0的大小关系不确定【例3】已知关于x的一元二次方程22410xxk有实数根，k为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数2241yxxk的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线12yxbbk与此图象有两个公共点时，b的取值范围.【例4】图26-4，图中抛物线的解析式为2yaxbxc，根据图象判断下列方程根的情况。（1）方程20axbxc的两根分别为（2）方程230axbxc的两根分别为（3）方程22axbxc的根的情况是（4）方程25axbxc的根的情况是【分析】抛物线2yaxbxc与直线ym的交点的横坐标即为方程2axbxcm的根，故可根据图象可直接判断。【例5】阅读材料，解答问题．例：用图象法解一元二次不等式：2230xx．解：设223yxx，则y是x的二次函数．∵10a，∴抛物线开口向上．又∵当0y时，2230xx，解得1213xx，．∴由此得抛物线223yxx的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当1x或3x时，0y．个性化教学辅导教案BeijingXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.∴2230xx的解集是1x或3x．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：2230xx的解集是____________；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：210x．【例6】如图所示，抛物线20yaxbxca与x轴的两个交点分别为10A，和20B，，当0y时，x的取值范围是．-121OxyBA31xyOB例6图例7图【例7】如下右图是抛物线2yaxbxc的一部分，其对称轴为直线1x，若其与x轴一交点为30B，，则由图象可知，不等式20axbxc的解集是．【例8】已知二次函数2(1)1yxmxm（1）求证：不论m为任何实数，这个函数的图象与x轴总有交点，（2）m为何实数时，这两个交点间的距离最小？这个最小距离是多少？考点二二次函数的实际应用例1、某公司年初推出一种高新技术新产品，该新产品销售的累积利润y（万元）与销售时个性化教学辅导教案BeijingXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.间x（月）之间的关系（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）为212(0)2yxxx。(1)求出这个函数图象的顶点坐标和对称轴；(2)请在所给坐标系中画出这个函数的简图；(3)根据函数图象，你能否看出公司的这种新新产品销售累积利润是从什么时候开始盈利的？(4)这个公司第6个月所获的利润是多少？【分析】①画函数图象时，注意0x带来的变化。②根据图象进行分析。例2、某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个，根据销售经验，单价每提高1元，销售量相应减少10个。（1）假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是元；这种篮球每月的销售量是个（用含x的代数式表示）。（2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请你求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？个性化教学辅导教案BeijingXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.【点评】（1）题设计了两个问题，一是每个篮球的利润，二是每月的销售个数，这为第（2）题解答铺平了道路，要会利用二次函数的最值，解决实际问题。例3、如图26-9（1）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两个小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度AB=20米，顶点M距水面6米（即MO=6米）小孔顶点N距水面4.5米，（即NC=4.5米），当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图26-9（2）中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF。【解析】根据图中直角坐标系知抛物线的顶点M（0，6），B（10，0），故可求抛物线的解析式，再根据E，F，N三点的纵坐标相同，都为4.5，可求E，F的横坐标，从而求出水面宽EF。解：【点评】解题的关键有两点：（1）建立恰当的平面直角坐标第（此题题中已给出）。（2）点的坐标未直接给出，要结合题意去理解，抛物线的解析式通常要求出来。例4、某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，该矩形一边长为x米，面积为S平方米。(1)求出S与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围。(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用。(3)为使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并计算出可获得的设计费的多少（精确到元）？（参考资料：①当矩形的长是宽与“长+宽”的比例中项时，这样的矩形叫做黄金矩形②52.236。【解析】（1）若矩形的长为x米，则宽为（6-x）米，由长、宽均有意义，可确定x的取值范围。（2）S最大时，设计费最多，可根据二次函数的极值求出。（3）x的值应当是一个具体的值，可求。个性化教学辅导教案BeijingXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.【点评】（1）(2)问为常规的二次函数与几何面积的综合题,利用二次函数的性质可以解决,(3)问从美观的角度考虑,很新颖,有意义.例5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P，），当AP旋转至AP，⊥AB时，点B、P、P，恰好在同一直线上，此时作P，E⊥AC于点E.(1)求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当5523，，BPPECP时，求线段AB的长.【课后作业】1．一辆电瓶车在实验过程中，前10秒行驶的路程S（米）与时间t（秒）满足关系式2sat，第10秒末开始匀速行驶，第24秒末开始刹车，第28秒末停止离终点20米处，图26-12是电瓶车行驶过程中每2秒记录的一次的图象。（1）求电瓶车从出发到刹车时的路程S（米）与时间t（秒）的函数关系式。（2）如果第24秒末不刹车继续匀速行驶，那么出发多少秒后通过终点？（3）如果10秒后仍按2sat的运动方式行驶，那么出发多少少后通过终点？2、杭州体博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施，若不计维修保养PBAP'CE个性化教学辅导教案BeijingXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.费用，预计开放后每月可创收33万元，而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y万元，且2yaxbx，若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g万元，g也时关于x的二次函数。（1）求y关于x的解析式；（2）求纯收益g关于x的解析式；（3）问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后能收回投资？3、已知二次函数22yx2mxm1.（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由。4、新华商场为迎接家电下乡活动销售某种冰箱，每台进价为2500元，市场调研表明；当销个性化教学辅导教案BeijingXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.售价定为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台.⑴商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到4800元，每台冰箱的定价应为多少元？平均每天可以售出多少台冰箱？⑵每天的销售利润4800元日是不是最大利润？若不是，试求