二次函数中的条件最值2013

二次函数中的条件最值内容简概：二次函数的最值在实际应用中常常与自变量的取值范围密切相关，根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．如果对称轴和取值范围都给定，可分为对称轴在取值范围内和不在取值范围内两种情形；若对称轴在取值范围内，顶点为最值点，（开口向上为最小值，开口向下为最大值），离对称轴较远的一个端点为另一个最值点（前者是最大值则后者是最小值，否则为最大值）.如果对称轴、取值范围不能确定，可以分为三种情形；（1）取值范围确定，但对称轴不确定（2）对称轴确定但取值范围不能确定（3）对称轴和取值范围都不能确定关键词：二次函数、条件最值、取值范围、对称轴二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）是初中函数的主要内容，二次函数的最值是近年中考的一个热点．二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况为：当a＞0时，函数在x=－2ba处取得最小值244baca，无最大值；当a＜0时，函数在x=－2ba处取得最大值244baca，无最小值．而二次函数的最值在实际应用中常常与自变量x的取值范围密切相关，根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．可分为对称轴在取值范围内和不在取值范围内两种情形，下面就不同类型举例说明。一．对称轴在取值范围内【例1】当－2≤x≤2,时，求函数y=x2－2x－3的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值．【解析】作出函数的图象．当x=1时，y最小值=－4，当x=－2时，y最大值=5．【例2】当1≤x≤2时，求函数y=－x2－x+1的最大值和最小值．【解析】作出函数的图象．当x=1时，y最小值=－4，当x=2时，y最大值=5．由上述两例可以看到，二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．可以归纳为：若对称轴在取值范围内，顶点为最值点，（开口向上为最小值，开口向下为最大值），离对称轴较远的一个端点为另一个最值点（前者是最大值则后者是最小值，否则为最大值）。二．对称轴不在取值范围内【例3】：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？分析：此题求最值问题用的不是顶点坐标，而是利用的是增减性。解：①y=90－3(x－50)=－3x+240(50≤x≤55)②w=(x－40)(－3x+240)=－3x2+360x－9600(50≤x≤55)③w=－3x2+360x－9600∵a0∴抛物线开口向下，又∵50≤x≤55,且对称轴为x=60，∴y随x的增大而增大∴当x=55时，w有最大值是1125元。归纳：对称轴不在取值范围内，两个端点都是最值点（若开口向上，离对称较近的端点为最小值点，离对称轴较远的端点为最大值，若开口向下，离对称较远的端点为最小值点，离对称轴较近的端点为最大值）下面就二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的一般情况在m≤x≤n上的最值进行归纳．当a＞0时，①－2ba＜m时，y最小值=am2+bm+c,y最大值=an2+bn+c②m≤－2ba≤n时，y最小值=244baca若2mn≤－2ba，y最大值=am2+bm+c,若2mn≥－2ba，y最大值=an2+bn+c③－2ba＞n时，y最小值=an2+bn+c，y最大值=am2+bm+c当a＜0时，①－2ba＜m时，y最大值=am2+bm+c,y最小值=an2+bn+c②m≤－2ba≤n时，y最大值=244baca若2mn≤－2ba，y最小值=am2+bm+c，若2mn≥－2ba，y最小值=an2+bn+c③－2ba＞n时，y最大值=an2+bn+c，y最小值=am2+bm+c三．二次函数最值问题的拓展（1）对称轴和取值范围都确定【例4】当x≥0时，求函数y=－x(2－x)的取值范围．解：y=－x(2－x)=x2－2x因为a=1＞0，所以图象开口向上，对称轴为x=1在取值范围内,则当x=1时，y有最小值，y最大值=－1，当0≤x＜1时，y随x的增大而减小，．当x＞1，y随x的增大而增大，所以y无最大值．所以，当x≥0时，函数y的取值范围是y≥－1．（2）取值范围确定，但对称轴不确定【例5】已知二次函数y=－9x2－6ax－a2+2a(13≤x≤13)有最大值－3，求实数a的值．【解析】函数y=－9x2－6ax－a2+2a的对称轴为x=13a．该函数开口向下，分以下情况进行讨论：若13a≤13即a≥1，则该二次函数在13≤x≤13这个范围上y随x的增大而减小，当x=13时有最大值，故－a2+4a－1=－3解得：a=2±6，又a≥1，故a=2+6．若13a≥13即a≤－1，则该二次函数在13≤x≤13这个范围上y随x的增大而增大，x=13时有最大值，故－1－a2=－3解得：a=±2，又a≤－1，故a=－2．若13≤13a≤13即－1≤a≤1，则该二次函数在顶点处取得最大值，故2a=－3解得a=3-2，与－1≤a≤1矛盾．综上所述:a=2±6或a=－2【例6】当0≤x≤1时，求二次函数y=－x2－2ax+4的最大值与最小值．【解析】设y=－x2－2ax+4的最大值为M，最小值为m，则y=－x2－2ax+4，我们先求M．①当a＜12时(即对称轴在x=12左边时)，对应于0≤x≤1的那段图象的右端点高于左端点，故M=5－2a.②当a≥12时，对应于0≤x≤1的那段图象的左端点高于右端点，当x=0时取最大值，故M=4．总之，y的最大值为：y=152()214()2aaa≥我们再来求m．①当a＜0时(对称轴在定义域左侧)，m=4．②当0≤a≤1时，m=4－a2．③当a＞1时，m=5－2a．总之，y的最小值为：y=24(0)4(01)52(1)aaaaa，≤≤【例7】已知二次函数y=ax2+(2a－1)x+1(－32≤x≤2)的最大值为3，求实数a的值。分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分0a与0a两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到()fx的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明。【解析】（1）令x=－212aa,y=3，得12a此时抛物线开口向下，对称轴为不在取值范围内，故12a不合题意；（2）令x=2时，y=3，得12a，此时抛物线开口向上，对称轴为x=0，取值范围的右端点距离对称轴远些，故12a符合题意；（3）令x=－23，y=3，得23a，经检验，符合题意。综上，12a或23a评注：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型二次函数条件最值问题的一种有效方法。（3）对称轴确定但取值范围不能确定【例8】当1txt时，求函数21522yxx的最小值(其中t为常数)．【解析】由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522yxx的对称轴为1x．画出其草图．①当对称轴在所给范围左侧．即1t时：当xt，时，21522ytt最小值；②当对称轴在所给范围之间．即1101ttt时：当1x时，2151122y最小值=－3；③当对称轴在所给范围右侧．即110tt时：当1xt时，2151122ytt最小值（）（）=2132t．综上所述：2213023,0115,022ttytttt最小值，≤≤（4）对称轴和取值范围都不能确定【例9】当－a≤x≤2a时，求函数y=x2－2ax+2的最大值(其中a为常数)【解析】先求对称轴x=a，由于开口向上，则离对称轴较的端点为最大值点；所以当a=－a时有最大值，y最大值为2－a2综上所述:求二次函数的条件最值可简要概述为若顶点在取值范围内则顶点为最值点，离对称轴较远的一个端点为另一最值点；若顶点不在取值范围内，两端点的值一个为最大值，另一个为最小值。