二次函数和反比例函数的知识点

二次函数知识点1：二次函数的概念形如y=ax2＋bx＋c(a≠0,a,b,c是常数)的函数叫做二次函数．知识点2：在理解二次函数的定义时，应注意下述问题：(1)在解析式中最高项是ax2项且系数a≠0，而b，c可以不为零，也可以为零。(2)自变量x的取值范围是任何实数．(3)如果a=0，则该函数一定不是二次函数，但不一定是一次函数，如果a=0，b≠0才是一次函数。知识点3：用二次函数描述有关实际问题中的变量间的关系在实际生活中，变化规律，解决实际问题，如何建立实际问题中的二次函数关系式（1）审清题意，找出实际问题中的已知量（定量），未知量（变量）并分析它们之间的关系，将文字或图形语言转化为数学符号语言．（2）建立函数关系式，根据前面的思考和分析，得到函数关系，即用自变量解析式来表示函数，并判断它是否为二次函数．(3)确定函数的定义域，在实际问题中，变量都有一定的实际意义，要受到一定的条件限制，所以在求出二次函数解析式时，还要指明它的定义域．知识点4：二次函数的画法：（1）先列表；（2）描点，（3）连线．知识点5：函数y=ax2的图象特征或性质函数开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大(小)值y=ax2a＞0向上(0,0)y轴x＞0时，y随x增大而增大x＜0时，y随x增大而减小当x=0时，y最大=0y=ax2a＜0向下(0,0)y轴x＞0时，y随x增大而减小x＜0时，y随x增大而增大当x=0时y最大=0知识点6：.二次函数y=ax2＋k的图象二次函数y=ax2＋k的图象是由函数y=ax2的图象上、下平移得到的，当k＞0时，抛物线y=ax2向上平移︱k︱个单位得到y=ax2＋k的图象；当k＜0时，抛物丝y=ax2向下平移︱k︱个单位得到y=ax2＋k的图象.注意：抛物线y=ax2＋k与抛物丝y=ax2形状完全相同，开口方向相同，对称轴都是y轴，但顶点位置不同，y=ax2的顶点是（0，0），y=ax2＋k的顶点是（0，k），，顶点在y轴上.知识点7：.二次函数y=a（x－h）2的图象二次函数y=a（x－h）2的图象可由抛物线y=ax2向左（或向右）平移而得到，当n＞0时，抛物线y=ax2向右平称︱n︱个单位，得到y=a（x－n）2的图象；当n＜0时，抛物线y=ax2向左平移︱n︱个单位得到y=a（x－n）2的图象.注意：抛物线y=a（x－n）2与抛物线y=ax2的形状完全相同，开口相同只是在坐标系中的位置不同，抛物线y=a（x－n）2的对称轴是x=n，顶点是（n，0），顶点在x轴上.知识点8：.二次函数y=a（x－n）2＋k的图象1）二次函数y=a（x－h）2＋k（a≠0）与二次函数y=ax2（a≠0）的图象都是抛物线，在a相等的情况下，形状相同，只是位置不同。抛物线y=a（x－h）2＋k可由抛物线y=ax2向上（k＞0）或向下（k＜0＝平移︱k︱个单位得到抛物线y=ax2＋k，再把抛物线y=ax2＋k向左（n＜0）或向右（n＞0）平移︱n︱个单位，就得到抛物线y=a（x－h）2＋k.2）抛物线y=a（x－h）2＋k（a≠0）的特点①a＞0时开口向上，a＜0的开口向下；②对称轴是直线x=h；③顶点坐标是（h，k）.知识点9：函数y=ax2＋bx＋c的图象利用配方法可将y=ax2＋bx＋c（a≠0）转化为y=a（x－h）2＋k①的形式，即y=ax2＋bx＋c=a（x＋b2a）2＋4ac－b24a②比较①式和②式知，n=－b2a，k=4ac－b24a，因此y=ax2＋bx＋c的对称轴是x=－b2a，顶点是（－b2a，4ac－b24a）.二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象特征:①图象是抛物线②开口方向、a＞0，向上；a＜0时，向下。③对称轴：直线x=－b2a④顶点坐标（－b2a，4ac－b24a）⑤与y轴的交点坐标为（0，c）知识点10：二次函数表达式又有三种形式：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)；(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0)；﹡(3)两根式：y=a(x一x1)（x一x2）(a,x1,x2为常数,a≠0)．知识点11：二次函数y＝ax2＋bx十c与一元二次方程ax2十bx十c=0的关系抛物线y＝ax2＋bx十c与x轴交点的横坐标x1，x2是一元二次方程ax2＋bx十c=0的根．当b2一4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，此时方程无实数根；当b2一4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，此时方程有两个不相等的实数根；当b2一4ac=0时，抛物线与x轴只有一个交点，此时方程有两个相等的实数根；当b2一4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，其解析式可写成交点式的形式：y=a(x一x1)(x一x2)反比例函数知识点1．反比例函数的概念：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成xky(k是常数，k≠0)的形式，那么y就称为x的反比例函数．反比例函数的三种不同表达形式：①xky；②y=kx-1；③xy=k说明：①k是不为0的常数；②自变量x取值范围是x≠0的全体实数；③函数y的取值范围是y≠0的全体实数．知识点2．反比例函数解析式的确定：确定函数解析式常用的方法是待定系数法．在反比例函数式xky中，因为只有一个待定系数k，所以只需要知道一对对应值或一个点的坐标，就可以求出k的值，从而确定反比例函数解析式．知识点3．反比例函数的图象：反比例函数xky（k≠0）的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线常称为“双曲线”．画反比例函数图象时，一般用描点法，即列表、描点、连线三大步骤．说明：①双曲线的两个分支不能够连接起来；②两个分支无限靠近x轴和y轴，但是永远与它们不相交；③图象既是轴对称图形，也是中心对称图形；④画反比例函数图象时通常先画出一个分支，然后根据对称性画出另一个分支．知识点4．反比例函数的性质：①自变量的取值范围是0x的实数．②函数的图象是双曲线（两个分支），是中心对称图形，对称中心是坐标原点；也是轴对称图形，对称轴有两条，分别是直线xy和xy．⑤图象的变化趋势：函数图象无限靠近坐标轴，但是永远不会和坐标轴相交．另：反比例函数xky(k≠0)的图象与性质：反比例函数xky(k≠0)k的符号图象在坐标系中的位置图象图象特征增减性k0图像位置一、三象限在每个象限内从左到右下降在每个象限内，y随x增大而减小k0二、四象限在每个象限内从左到右上升在每个象限内y随x增大而增大知识点5．反比例函数中k的几何意义：如果过反比例函数xky图象上任意一点P分别作x轴和y轴的垂线，那么它们与两条坐标轴所围成的矩形的面积就是k．知识点6．反比例函数与一次函数的比较：一次函数反比例函数解析式y=kx+b（k≠0）xky自变量取值范围全体实数x≠0的实数函数值取值范围全体实数y≠0的实数函数图象直线双曲线解析式的确定两个点的坐标一个点的坐标增减性k0y随x增大而增大同一象限内y随x增大而减小K0y随x增大而减小同一象限内y随x增大而增大图象分布情况k0必过一、三象限分布在一、三象限K0必过二、四象限分布在二、四象限xyOxyO