二次函数在经济决策问题中的应用

1/5二次函数在经济决策问题中的应用经济问题是中考中的热点问题，在2008年的中考试题中，出现了很多和经济有关的函数型试题．解决此类试题，需要从已知条件中捕捉函数信息，通过函数关系，进一步解决实际问题．本文就二次函数在经济决策问题中的应用举例说明.例1、(08莆田)枇杷是莆田名果之一，某果园有100棵枇杷树．每棵平均产量为40千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克，问：增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？解：设增种x棵树，果园的总产量为y千克，依题意得：y＝（100＋x）(40–0.25x)＝4000–25x＋40x–0，25x2＝－0.25x2＋15x＋4000因为a＝－0.25〈0，所以当1530220.25bxa，y有最大值2244(0.25)400015422544(0.25)acbya最大值答:（略）例2、（08茂名）我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能．．超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？销售单价x（元∕件）……30405060……每天销售量y（件）……500400300200……2/5解：（1）画图如右图；由图可猜想y与x是一次函数关系，设这个一次函数为y=kx+b（k≠0）∵这个一次函数的图象经过（30，500）（40，400）这两点，∴5003040040kbkb解得10800kb∴函数关系式是：y=－10x+800（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得W=（x－20）（－10x+800）=－10x2+1000x-16000=－10（x－50）2+9000∴当x=50时，W有最大值9000．所以，当销售单价定为50元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元．（3）对于函数W=－10（x－50）2+9000，当x≤45时，W的值随着x值的增大而增大，1020304050607080x1002003004005006007008000y1020304050607080x1002003004005006007008000y3/5∴销售单价定为45元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．例3、（08泰安）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．解：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为30008002400000（元）（2）由题意可设y与x的函数关系为800ykx将(501200)，代入上式得120050800k得8k所以种植亩数与政府补贴的函数关系为8800yx同理可得每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为33000zx（3）由题意(8800)(33000)uyzxx图1x/元501200800y/亩O图2x/元10030002700z/元O4/5224216002400000xx224(450)7260000x所以当450x，即政府每亩补贴450元时，全市的总收益额最大，最大为7260000元．例4、(08河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x（吨）时，所需的全部费用y（万元）与x满足关系式2159010yxx，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p甲，p乙（万元）均与x满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售x吨时，11420px甲，请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润w甲（万元）与x之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售x吨时，110pxn乙（n为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？解：（1）甲地当年的年销售额为211420xx万元；2399020wxx甲．（2）在乙地区生产并销售时，年利润222111590(5)9010105wxnxxxxnx乙．由214(90)(5)535145n，解得15n或5．经检验，5n不合题意，舍去，15n．5/5（3）在乙地区生产并销售时，年利润2110905wxx乙，将18x代入上式，得25.2w乙（万元）；将18x代入2399020wxx甲，得23.4w甲（万元）．∵ww乙甲，应选乙地．