二次函数知识点及其应用的总结

1二次函数知识点总结知识结构框图一、二次函数的概念形如cbxaxy2（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，其中x，是自变量，abc、、分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二、二次函数的一般表达式1、一般式：cbxaxy2（，，为常数，）；2、顶点式：khxay2)(（，，为常数，）其中；二次函数知识点总结二次函数的概念二次函数的表达形式一般式顶点式双根式二次函数的图像特点及性质开口方向对称轴函数图像的变化特点最值二次函数系数与图像的关系二次函数与二次方程的关系二次函数中几个常见的函数二次函数平移变换0abc，abc0aahk0a2424bacbhkaa，23、双根式：21212()()(0,,=)yaxxxxaxxaxbxcx其中是y与轴交点的横坐标二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.三、二次函数的图像性质(轴对称图形)1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．四、二次函数的图像与各项系数之间的关系1.二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然．⑴当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；⑵当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．xx240bac2yaxbxc0a2bxa2424bacbaa，2bxayx2bxayx2bxay244acba0a2bxa2424bacbaa，2bxayx2bxayx2bxay244acbaa2yaxbxca0a0aaa0aaaaaa32.一次项系数在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．⑴在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．⑵在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．总结：3.常数项⑴当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；⑵当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；⑶当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．五、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图像与轴的交点个数：①当时，图像与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．和的一半恰好是对称轴的横坐标.②当时，图像与轴只有一个交点；③当时，图像与轴没有交点.当时，图像落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图像落在轴的下方，无论为任何实数，都有．2.抛物线的图像与轴一定相交，交点坐标为，；3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图像与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值；bab0a0b02bay0b02bay0b02bay0a0b02bay0b02bay0b02bayabc0cyxy0cyy00cyxycyabc，，x20axbxc2yaxbxc0yx240bacx1200AxBx，，，12()xx12xx，200axbxca12xx，0x0x1'0axx0y2'0axx0y2yaxbxcy(0)cx4⑶根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。六、二次函数的几个特殊的基本形式1.二次函数基本形式：的性质：结论：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。总结：2.的性质：2yaxbxcabcabc2yax2yaxc的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．a0a00，y0xyx0xyx0xy00a00，y0xyx0xyx0xy05结论：上加下减。总结：3.的性质：结论：左加右减。总结：y=2x2-4y=2x2+2y=2x22yaxhy=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x2的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．a0a0c，y0xyx0xyx0xyc0a0c，y0xyx0xyx0xyca0a0h，xhyxxhyxxhy064.的性质：总结：七、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．2yaxhky=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x22yaxhkhk，2yaxhk，向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向上(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2hk向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．0a0h，xhyxxhyxxhy0a0ahk，xhyxxhyxxhyk0ahk，xhyxxhyxxhyk