二次函数知识点总结及相关典型题目的答案

龙文学校个性化辅导资料牟晓彬TEL:63977061第1页共9页二次函数知识点总结及相关典型题目参考答案:1.D2C3D4D2482,484EFxEFxyxx5,46,①③④7.解：（1）102xy或642xxy将0)b（，代入，得cb.顶点坐标为21016100(,)24bbb，由题意得21016100224bbbb，解得1210,6bb.（2）22xy8.解：（1）设所求二次函数的解析式为cbxaxy2,则43005)2()2(22cbacbacba,即1423babac,解得321cba故所求的解析式为:322xxy.（2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y为正数时，输入值x的取值范围是1x或3x9.解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃⑶22102421612xxxy10.解：依题意，得点C的坐标为（0，4）．设点A、B的坐标分别为（1x，0），（2x，0），由04)334(2xaax，解得31x，ax342．∴点A、B的坐标分别为（-3，0），（a34，0）．yOx龙文学校个性化辅导资料牟晓彬TEL:63977061第2页共9页∴|334|aAB，522OCAOAC，22OCBOBC224|34|a．∴9891693432916|334|2222aaaaaAB，252AC，1691622aBC．〈ⅰ〉当222BCACAB时，∠ACB＝90°．由222BCACAB，得)16916(259891622aaa．解得41a．∴当41a时，点B的坐标为（316，0），96252AB，252AC，94002BC．于是222BCACAB．∴当41a时，△ABC为直角三角形．〈ⅱ〉当222BCABAC时，∠ABC＝90°．由222BCABAC，得)16916()98916(2522aaa．解得94a．当94a时，3943434a，点B（-3，0）与点A重合，不合题意．〈ⅲ〉当222ABACBC时，∠BAC＝90°．由222ABACBC，得)98916(251691622aaa．解得94a．不合题意．综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41a时，△ABC为直角三角形．11.解:(1)Ａ（x1，0）,B(x2，0).则x1，x2是方程x2－mx＋m－2＝0的两根.∵x1＋x2＝m,x1·x2=m－2＜0即m＜2;又AB＝∣x1—x2∣＝121245xxxx2（+）,龙文学校个性化辅导资料牟晓彬TEL:63977061第3页共9页∴m2－4m＋3=0.解得：m=1或m=3(舍去),∴m的值为1.（2）M(a，b)，则N(－a，－b).∵M、N是抛物线上的两点,∴222,2.amambamamb①②①＋②得：－2a2－2m＋4＝0.∴a2＝－m＋2.∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N.∴2am.这时M、N到y轴的距离均为2m,又点C坐标为（0，2－m）,而S△MNC=27,∴2×12×（2－m）×2m=27.∴解得m=－7.12.解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x＝－2．∵抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0），∴由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．（2）∵抛物线taxaxy＋＋＝42与x轴的一个交点为A（－1，0），∴0)1(4)1(2＝＋－＋－taa．∴t＝3a．∴aaxaxy342＋＋＝．∴D（0，3a）．∴梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线aaxaxy342＋＋＝上，∵C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．∵梯形ABCD的面积为9，∴9)(21＝ODCDAB．∴93)42(21＝＋a．∴a±1．∴所求抛物线的解析式为342＋＋＝xxy或342axxy＝．（3）设点E坐标为（0x，0y）.依题意，00＜x，00＜y，且2500＝xy．∴0025xy＝－．龙文学校个性化辅导资料牟晓彬TEL:63977061第4页共9页①设点E在抛物线342＋＋＝xxy上，∴340200＋＋＝xxy．解方程组34,25020000＋＋＝＝－xxyxy得；＝，＝15600yx．＝，＝452100yx∵点E与点A在对称轴x＝－2的同侧，∴点E坐标为（21，45）．设在抛物线的对称轴x＝－2上存在一点P，使△APE的周长最小．∵AE长为定值，∴要使△APE的周长最小，只须PA＋PE最小．∴点A关于对称轴x＝－2的对称点是B（－3，0），∴由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．设过点E、B的直线的解析式为nmxy＋＝，∴.03,4521＝＋－＝＋nmnm解得.23,21＝＝nm∴直线BE的解析式为2321＋＝xy．∴把x＝－2代入上式，得21＝y．∴点P坐标为（－2，21）．②设点E在抛物线342xxy＝上，∴340200xxy＝．解方程组.34,25020000xxyxy＝＝－消去0y，得03x23x020＝＋．∴△＜0.∴此方程无实数根．综上，在抛物线的对称轴上存在点P（－2，21），使△APE的周长最小．解法二：（1）∵抛物线taxaxy＋＋＝42与x轴的一个交点为A（－1，0），∴0)1(4)1(2＝＋－＋－taa．∴t＝3a．∴aaxaxy342＋＋＝．令y＝0，即0342＝＋＋aaxax．解得11＝－x，32＝－x．龙文学校个性化辅导资料牟晓彬TEL:63977061第5页共9页∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．（2）由aaxaxy342＋＋＝，得D（0，3a）．∵梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线aaxaxy342＋＋＝上，∴C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．∵梯形ABCD的面积为9，∴9)(21＝＋ODCDAB．解得OD＝3．∴33＝a．∴a±1．∴所求抛物线的解析式为342＋＋＝xxy或342－－＝－xxy．（3）同解法一得，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．∴如图，过点E作EQ⊥x轴于点Q．设对称轴与x轴的交点为F．由PF∥EQ，可得EQPFBQBF＝．∴45251PF＝．∴21＝PF．∴点P坐标为（－2，21）．以下同解法一．13.解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(xxay，∴)2(12a．∴1a．∴22xxy．其顶点M的坐标是4921，．（2）设线段BM所在的直线的解析式为bkxy，点N的坐标为N（t，h），∴.214920bkbk，．解得23k，3b．∴线段BM所在的直线的解析式为323xy．∴323th，其中221t．∴tts)3322(212121121432tt．∴s与t间的函数关系式是121432ttS，自变量t的取值范围是221t．龙文学校个性化辅导资料牟晓彬TEL:63977061第6页共9页（3）存在符合条件的点P，且坐标是1P4725，，45232，P．设点P的坐标为P)(nm，，则22mmn．222)1(nmPA，5)2(2222ACnmPC，．分以下几种情况讨论：i）若∠PAC＝90°，则222ACPAPC．∴.5)1()2(222222nmnmmmn，解得：251m，12m（舍去）．∴点47251，P．ii）若∠PCA＝90°，则222ACPCPA．∴.5)2()1(222222nmnmmmn，解得：02343mm，（舍去）．∴点45232，－P．iii）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，ACPA，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA（或边OC）的对边上，如图a，此时未知顶点坐标是点D（－1，－2），以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图b，此时未知顶点坐标是E5251，，F5854，．图a图b龙文学校个性化辅导资料牟晓彬TEL:63977061第7页共9页14.解：根据题意，得a－2＝－1.∴a＝1．∴这个二次函数解析式是22xy＝．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x轴有两个交点．15.解：（1）由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为1092＋＝axy．因为点A（25，0）（或B（25，0））在抛物线上，所以109)25(02＋＝a，得12518＝－a．因此所求函数解析式为)2525(109125182xxy＋＝－．（2）因为点D、E的纵坐标为209，所以109125182092＋－x，得245＝x．所以点D的坐标为（245－，209），点E的坐标为（245，209）．所以225)245(245＝－＝DE．因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225＝（米）．16.解:（1）a、c同号．或当a＞0时，c＞0；当a＜0时，c＜0．（2）证明：设点A的坐标为（1x，0），点B的坐标为（2x，0），则210xx＜＜．∴1xOA，2xOB，cOC．据题意，1x、2x是方程)0(02acbxax＋＋的两个根．∴acxx21．由题意，得2OCOBOA＝，即22ccac＝＝．所以当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时，a、c互为倒数．（3）当4b时，由（2）知，0421＞＝＝－＋aabxx，∴a＞0．解法一：AB＝OB－OA＝21221124)(xxxxxx＋＝－，∴aaacacaAB32416)(4)4(22－．∵34AB，∴3432＝a．得21a．∴c＝2.龙文学校个性化辅导资料牟晓彬TEL:63977061第8页共9页解法二：由求根公式，aaaacx322416424164＝＝＝，∴ax321＝，ax322＝．∴aaaxxOAOBAB32323212＝－－＝－＝－＝．∵34＝AB，∴3432＝a，得21＝a．∴c＝2．17.解：（1）连结EC交x轴于点N（如图）．∵A、B是直线333xy分别与x轴、y轴的交点．∴A（3，0），B)3,0(．又∠COD＝∠CBO．∴∠CBO＝∠ABC．∴C是的中点．∴EC⊥OA．∴232,2321OBENOAON．连结OE．∴3OEEC．∴23ENECNC．∴C点的坐标为（23,23）．（2）设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为3xaxy．∵C（23,23）．∴)323(2323a．∴392a．∴xxy8329322为所求．（3）∵33tanBAO，∴∠BAO＝30°，∠ABO＝50°．由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴30602121ABOOBD．∴OD＝OB·tan30°－1．∴DA＝2．∵∠ADC＝∠BDO＝60°，PD＝AD＝2．∴△ADP是等边三角形．∴∠DAP＝60°．∴∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即PA⊥AB．即直线PA是⊙E的切线．龙文学校个性化辅导资料牟晓彬TEL:63977061第9页共9页