二次型正定的应用(杨勇胜)

二次型正定性——产品的供应量与利润最大化应用数学系：杨勇胜2011133137大纲•问题背景•解决方法•理论基础•问题提出•解决问题•模型评价问题背景产品的供应量产品价格替代品价格替代品需求量增加下跌减少减少上涨增加价格上涨价格下跌产品的供应量对其替代品的价格存在一定的影响，进而影响生产商的利润。单个因素影响的情况下，估算出利润的最大值是比较容易解决的。而在多个变量的前提下，在什么情况下使得总利润最大化就变得比较棘手。用正定二次型的理论来给出一般多元函数极值的一种求法。解决方法：正定性的理论基础：：在二阶连续偏导数，且的某领域内连续，存在点函数件为：极值判别的一个充分条二元函数),(),(),(00yxyxfzyxfz00000)(yxyxyfxf，，000000222y22yxyxxyfCyxfBxfA，，，，，，为极大值。，则或且若为极小值。，则或且若002002y),0(00-y),0(00-xfCAACBxfCAACB上述结论可叙述为：论，结合正定矩阵的相关理若记CBBAyxH00f,为极小值则为正定矩阵若：00200f,)0,0(,yxfBACAyxH为极大值则为负定矩阵若：00200f,)0,0(,yxfBACAyxH推广：的驻点，即：是若点记存在二阶连续偏导数，的某邻域内连续，在点元函数设nnnnxxxfaxxxxaaaaxxxfn,,,,,,,,,,,21212121021axnaxaxxfxfxf，则：的海塞矩阵在点称之为记)(212221222222122212212212axxfxafxxafxxafxxafxafxxafxxafxxafxafaHnnnf的极大值点。为函数是负定矩阵时，）当（的极小值点。为函数是正定矩阵时，）当（xfaxaHxfaxaHff21将这一结果推广到判定n元函数极值，有如下一般结论：问题提出：CBACCBABCBAAQQQPQQQPQQQP39024120270BACCBBBAACBAQQQQQQQQQQQQC22222,,已知，某企业生产三种相关产品A,B,C,其需求量Q与价格P之间的函数以及成本函数C分别为：求三种产品的供应量为多少时，可使企业总理论最大？解：设函数的利润函数为：CBACCBBAACBAQQQCQPQPQPQQQR,,,,CBACBCABACBAQQQQQQQQQQQQR9012070533463-222的驻点，令首先求CBAQQQR,,000CBAQRQRQR即有：得方程组：90853120512370336CBACBACBAQQQQQQQQQ574521125CBAQQQ：解得方程组的唯一解为的海塞矩阵为：在计算CBACBAQQQQQQR,,,,8535123336),,(CBARQQQH,035785351233360611233606，，因为：大。时，垄断商的总利润最点。即当的最大值是是负定矩阵，从而，所以5,745,21125),,(),,(),,(CBACBACBACBARQQQQQQRQQQQQQH模型评价该模型有利于生产商对商品供应量做个初步的估量，进而使得生产商获得最大的利润。谢谢~！