二阶导数在解高考函数题中的应用

浅谈二阶导数在解高考函数题中的应用河南省郸城县第三高中胡友全（邮编：477150）在历年高考试题中，导数部分是高考重点考查的内容，在六道解答题中必有一题是导数题。这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。解决这类题的常规解题步骤为：①求函数的定义域；②求函数的导数；③求)('xf的零点；④列出)(),(',xfxfx的变化关系表；⑤根据列表解答问题。而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。本文试以2010年全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。例1.（全国卷Ⅰ第20题）已知函数1ln)1()(xxxxf.（1）若1)('2axxxxf，求a的取值范围；（2）证明：0)()1(xfx.原解答如下:解（1）函数的定义域为（0，+∞），xxxf1ln)('，11ln1)('22axxxxaxxxxf，max)(lnlnxxaxxa.令,11)('ln)(xxgxxxg则递减，时，当递增；时，当)(,0)('1)(,0)('10xgxgxxgxgx从而当1x时，1)1()(maxgxg，故所求a的范围是[-1,+∞﹚.证明(2)由(1)知,01lnxx,则①10x时，0)1(lnln)(xxxxxf；②0)111(lnln)1ln(ln)(1xxxxxxxxxfx时，.综上可知，不等式成立.对于（2）的证明，虽然过程简单，但思维难度大，对学生的观察能力和代数式的变形能力要求较高。我们可以运用二阶导数的方法加以证明：证法二:令0)F,0F),()1()(minxxxfxxF（只需证）（要证明.因)(')1()(F'xfxxfx）（)1)(ln1(1ln)1(xxxxxx2)1(ln2xxxx，显然当1x时，0)('xF，当10x时，0)(',0ln,21xFxxx，)(xF在（0,1﹚递减；当1x时，0ln,21xxx，)('xF的符号仍不能判定，求二阶导数得011ln2)]'('[2xxxF，从而)('xF在1x时递增，0)1(')('FxF，)(xF在[1,+∞﹚递增，所以当1x时，0)1()(minFxF，故0)(xF成立，原不等式成立.例题2（2010年高考数学全国卷Ⅱ（22）小题）设函数1xfxe．（Ⅰ）证明：当x＞-1时，1xfxx；（Ⅱ）设当0x时，1xfxax，求a的取值范围．（原解答略）在原解答第（Ⅱ）问的解答中，用到了放缩代换，对考生的数学素质和解题能力要求很高，极少有考生能达到那样的要求.若用求二阶导数求解，则别有一番天地.（Ⅱ）解法二：由题设1)(,0axxxfx，若0a，则当不恒成立时，1)(,011axxxfaxax；若0)1)(1(1(,01,0xeaxaxxxfaxax）则.令0)0(,)1)(1()(gxeaxxgx则，0)(',1)1()('xgaaaxexgx，)12()]'('[axaexgx,∵0x,”），时取“仅当从而时，当21,0(0)]'('[,012210axxgaa∴0)0(')('),0[)('gxgxg内递减，在，∴,0)0()(),0[)(gxgxg内递减，在即原不等式成立.当,120]'('[,01221aaxxgaa得）令时，从而当,0)]'('[120xgaax时，此时0)0(')(')12,0()('gxgaaxg内递增，在，∴不恒成立内递增，在1)(,0)0()()12,0()(axxxfgxgaaxg.综上可知，210a.由以上两个例子可以看出，当需要判定函数的单调性而求导之后不能直接判定导数的符号时（导函数中常含有指数或对数形式），常可以考虑用二阶导数法。建议高三教师在高考数学复习时，对学生适当加以针对此类题型的指导、训练。针对训练：1、（2010年新课标全国卷第（21）题）：设函数2()1xfxexax。（1）若0a，求()fx的单调区间；（2）若当0x时()0fx，求a的取值范围2、（2008年湖南高考题改编）：已知函数xxxxf1)1(ln)(22，求函数)(xf的单调区间。参考答案：1、解：（1）略.（2）aexfaxexfxx2)]'('[,21)('.①当,1,1221xexaa得由时，从而递增，在),0[)(',0)]'('[xfxf∴0)0(')('fxf，0)0()(),0[)(fxfxf递增，在②时，当时，当axaa2ln0,1221,0)]'('[,2xfaex∴内递减，在区间)2ln,0()('axf∴,0)0(')('fxf∴0)0()()2ln,0()(fxfaxf内递减，在区间,不合题意.综上可知21aa的范围是2、解：xf的定义域是),1(.（1）22)1(21)1ln(2)('xxxxxxf22)1(2)1ln()1(2xxxxx.设xxxxxg2)1ln()1(2)(2则xxxg2)1ln(2)('.xxxg12)]'('[.当）上是增函数；在（时，,01)(',0)]'('[01xgxgx当0x时，.0)(',0)]'('[）上为减函数，在（xgxg所以),0(0)(',0)0('0)('xxggxxg所以处有最大值，而在函数在)(xg),1(上是减函数.当;)(,0)(',0)0()(01递增时，xfxfgxgx当递减时，)(,0)(',0)0()(0xfxfgxgx.所以，函数)(xf的单调递增区间是)0,1(，递减区间是),0(.