二项式定理在数列求和中的应用

二项式定理在数列求和中的应用【摘要】本文利用二项式定理和杨辉三角的内在联系，结合组合不等式，推导出形如(,,)anana234的前n项和的公式,并给出求更高次求和公式的一般方法。【关键词】二项式定理组合数方程的根系数一，二项式定理和杨辉三角介绍：1,二项式定理：()nnnnrnrrnnnnnnnabCabCabCabCabCab001112220其中rnC叫做二项式系数。2,杨辉三角：二，重要组合恒等式:（1）,rrrnnnCCC111证明：()!()!()!()!!()!rrnnnnCCrnrrnr1111111=()!![()]!()!!()!rnnnrnrCrnrrnr1（证毕）（2），()rrrrrrrrnnCCCCCnr1121证明（数学归纳法）：当nr1时上式左边=1右边是rrC111，所以是正确的。假设上式对()nkkr正确即rrrrrrrrkkCCCCC1121那么就有rrrrrrrrrrkkkkCCCCCCC1121再有组合不等式（1）可得rrrrrrrrrkkkCCCCCC11211故综上所述对于所有大于r的正整数n（2）式都是成立的。三，一元n次多项式根与系数的关系对于多项式nnnnnxaxaxaxa121210若,,nxxxx123是它的n个根则有一下等式成立：()naxxx11121()nnaxxxxxx22121311()iiikkkaxxx121（所有i个不同的根的乘积的和）()nnaaaa1231四，应用举例为了方便应用，（2）式也可以写成()rrrrrrrrrnrnCCCCCnr1121当r=1，2，3，4的时候上式也就是：()!nnn112312()()()!!nnnnn1113611223()()()()()!!nnnnnnn1114101212334()()()()()()()!!nnnnnnnnn111515123123445例一：求数列nan2的前n项和。分析：因为()kkkk21212所以[()]()nnnn222211232013611232()()()nnnnn11211162=()()nnn11216例二：求数列nan3的前n项和。分析：因为()()()kkkkkkk3116126162所以()()()()()()nnnnnnnnnn3333123111621161112462()[()()()]()()[()]nnnnnnnnnnn2111241241111142例三：求数列nan4的前n项和。分析：因为()()()()()()!!!kkkkkkkkkkk4111241233612141432所以：n4444123=()()()()()()()()()()!!!!nnnnnnnnnnnnnn111124321136211141115432=()()nnnnn32169130五，归纳总结推论若多项式()()()()fkkkkka121他的根分别是,,,akkkka1230121，则他的展开式中ak1的系数是()()aaaa11012312aaakkkkkk212131同理'()()()()fkkkkka122展开式中ak2的系数是：'()aa10122规律总结：求数列()anana5的方法步骤一：分拆通项!()()()[()!]()()()!()!akakkkkaaakkkkaaa11112111221+'()()!()()()()!aaaakkkkaa112121232+k步骤二：利用组合不等式（2）分组求和就可求出前n项和。【参考文献】1，华罗庚《从杨辉三角谈起》科学出版社2，焦润霞《浅谈对二项式定理的研究》语数外学习（高中版高二年级）2007年04期3，蒋书华《盘点二项式定理八类应用》中学生数理化（高二版）2007年04期4，戴丽萍《有关二项式定理的高考试题综述》中学数学1995年第02期