五年级数学课例研究

1“一种不同凡响的解------“鸡兔同笼”的数学思考方法连树生“鸡兔同笼”是我国民间广为流传的数学趣题，出自我国古代数学名著《孙子算经》，书中的题目是这样的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”新课标教材揭去它“奥数”令人生畏的面纱，还其生动有趣的一面。通过学习，不仅使学生感受祖先的聪明才智，而且体会到解题方法的多样性以及其中蕴含的丰富的数学思想方法，培养学生探索的兴趣与能力。目标：1、在掌握基本解法的基础上，比较和梳理各种解法的特点。2、数形结合，渗透数学建模的思想。3、应用鸡兔同笼问题的解题策略解决简单的实际问题，促进模型的进一步内化。4、渗透数学文化，关注学生的探究精神等情意目标的达成。活动：一、梳理解法1、自主探索：让学生自己去尝试：从“会做”到“会用不同的方法做”。2、比较梳理：交流解法，教师作适当补充，梳理各种解法的特点。3、资料介绍：补充一些关于鸡兔同笼问题的资料。二、建构模型1、初步提炼：从“鸡兔同笼”到日本人说的“龟鹤问题”，到“坐船问题”、“植树问题”、“答题问题”再到“人和狗”的民谣，逐步提炼出鸡兔同笼问题的基本特征。2、首次追问：生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？3、游戏：猜硬币游戏，利用2分、5分的硬币，数形结合拓展鸡兔同笼问题的内涵，从四只脚的兔子到“五只脚的兔子”实现认识上的飞跃，进一步逼近问题本质。三、拓展应用1、再次追问：生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？22、应用模型：利用模型解决实际问题，同时也促进模型的进一步内化。3、自主设计：创设生活情境，引导学生自主设计类似的问题。四、反思小结1、深度追问：生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？2、总结延伸：完善板书，小结全课，注重学法指导，引领孩子学会反思和追问。教学现场一、解法师：下面就让我们向在座的各位同学展示一下你们的智慧！师：请看大屏幕：（课件出示：今有鸡兔同笼，上有20头，下有54足。问：鸡有几只？兔有几只？）师：这是一道什么问题？生：（齐答）鸡兔同笼。师：对，不少同学在兴趣小组活动的时候，在自己的课外阅读中都已经接触过这类问题，今天我们继续来研究它。【板书课题：鸡兔同笼】师：题目你能读懂吗？生：能。师：告诉了我们哪些已知条件？生1：共有的二十个头，五十四只脚。（师点点头）生2：还有两个条件：鸡有两只脚，兔有四只脚。师：很好！还隐藏着两个条件，同样是读懂了，可是懂的水平不一样了！师：会做吗？生：（齐答）会。师：下面就请大家自己先试一试。（学生试做，老师相机指点，并选择学生的一些典型解法，全班交流。）（说明：开课简洁明快，引导学生“读懂”题意，挖掘隐含条件，以“领悟”代替“分析”。放手让学生独立解决问题，暗含对解题策略个性化、多元化的期待。）师：现在我们看看这位同学做的。（实物投影仪显示：学生作业①）（54—20×2）÷(4-2)=7（只）20-7=13（只）答：鸡有13只，兔有7只。师：说说你是怎么想的？3生：我先假设全是鸡就有40只脚，而现在有54只脚，还少14只脚，就说明还有一些兔子被算成了鸡，而每只兔子算成鸡就少两只脚，一共少14只脚，就说明有7只兔子，还有13只鸡。师：不但会做，而且讲得很清楚！再看看这位同学做的，这和刚才的解法联系吗？（实物投影仪显示：学生作业②）（20×4－54）÷（4－2）=13（只）20－13=7（只）答：鸡有13只，兔有3只。生：都是假设的，刚才假设的全是鸡，而这现在假设的全是兔。师：谁能说说他又是怎么想的？（实物投影仪显示：学生作业③）解：设兔有X只，则鸡有（20－X）只。4X+2×（20－X）=54X=720－X=13答：鸡有13只，兔有7只。生：他用的是方程解法，4X代表兔的脚数，2×（20－X）代表鸡的脚数，加起来就应该是一共的脚数54只。师：对！方程和算术方法都是很重要的解题方法。师：这里还有一种解法，谁做的？给大家讲讲你的思路。（实物投影仪显示：学生作业④）解：设鸡有X只，则兔有Y只。2X+4Y=54X=0，Y=2080X=1，Y=1978X=2，Y=1876X=3，Y=1774×X=4，Y=1672×。。。。。。X=13，Y=754√答：鸡有13只，兔有7只。生：我用的是不定方程的解法，后来解的过程我就是这样依次凑的……师：大部分同学可能没接触过不定方程，不过老师可以告诉你们。（课件出示：鸡的只数兔的只数腿的总数4020801197621874317724167013754）生：他是用列举的方法凑的，他的这种方法和不定方程的解法其实就是同一个意思。师：凑也是一种方法，像他们这样有序地凑就是一种列举，我们可以称它叫列举法，还可以这样做——（课件动态出示）师：（配合课件解说）先画出20个小圆圈就代表20只小动物，假设全是鸡每只有两只脚，这样就先画40只脚，而题目中说共有54只脚，还少14只脚，于是我们就把其中的七只鸡“改装”成兔（如上图），这样就有54只脚了。师：看懂了吗？刚才我们讲到了算术方法、方程解法还有列举法，现在你能给这种方法也取个名字吗？生1：我觉得应该叫做作图法生2：既然是把鸡变成兔那就叫鸡变兔法吧。生3：一开始假设全是鸡，而兔子的腿是后来添上去的，咱们就叫它添腿法吧。师：大家的说法都有道理，咱们就称它叫作图法吧。作图也可以成为一种解题的方法，这些很直观的解题方法反而容易被我们给忽视了，其实解题并不仅仅是计算！师：一上课大家就说会解答这类问题，现在我们又学会用不同的方法来解答，会的水平不一样了！数学学习讲究的就是深入，如果就此打住那我们今天的探索还是不够深入。比较一下这些不同的解法，你比较喜欢哪种方法？能说说你的理由吗？（课件出示：几种不同的方法）生1：我喜欢算术方法，能训练我们的思维，算术方法和画图的方法其实是同一个意思。生2：我喜欢方程解法，因为方程顺着题目的意思想起来比较方便。生3：我喜欢画图的方法，因为画图既有趣又方便，还特别好懂。师：它们怎么会是同一个意思？！生：这个图里面的添腿法，其实就是算术方法的思路，都是假设的，只是表示的方法不同。5师：大家同意他的说法吗？在他的发言中隐含了一个很重要的数学思想——数形结合。【板书：数形结合】生4：数字小，我就选作图法，列举法；数字大，我就选算术方法或者方程。师：你怎么这么“不专一”呀？生4：：数值小，用列举、画图方便；数值较大时，就不方便了，只能用算术方法或者方程。师：看来不同的解法各有各的特点，它们既有联系又有区别，我们应该根据需要灵活地选用。通过对几种典型解法的分析、比较，使学生在掌握不同解法的同时，能懂得这些解法之间的区别和联系。师：不但我们在研究鸡兔同笼问题，早在1500年前，我国古代的数学著作《孙子算经》中就记载了鸡兔同笼问题，并给出了一种很有意思的计算方法：课件出示：脚数÷2－头数＝兔数头数－兔数＝鸡数兔数=（实际的脚数－鸡兔总数×2）÷（4－2），鸡脚数=（鸡兔总数×4－实际的脚数）÷（4－2）。兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）（这是通用公式）师：咱们用这种方法口算一下上面那道题，结果和我们刚才算的一样吗？（上面的题目可以列式为：54÷2－20=720－7=13）。师：谁能说说这种算法的道理？师：你们想明白了，就是说不清楚，对吗？师：看来我们解决数学问题有时还真需要点数学家的本领——“奇思妙想”!【板书：奇思妙想】二、建构模型师：日本人对鸡兔同笼问题也有研究，日本人又称它叫“龟鹤问题”。（课件演示：龟鹤的图片）师：日本人说的“龟鹤”和我们说的“鸡兔”有联系吗？生：是一样的意思：龟就相当于兔，都是四只脚；鹤就相当于鸡，都是两只脚。师：假如我们不叫它鸡兔同笼，也不叫龟鹤问题，是不是还可以给它取个其它的名字呢？生1：鸭猫问题。（大家都笑起来）生2：猪鹅问题。生3：马鹰问题。6生4：坐船问题生5：植树问题生6：答题问题。。。。。。师：抓住了本质的东西！看来这里的鸡不仅仅代表鸡，这里的兔也不仅仅是指兔！【板书：给鸡兔加上红色“”号】师：这儿有一首民谣，我们一起来读一读：（课件出示：一队猎人一队狗，两队并成一队走。数头一共是十二，数脚一共四十二。）师：读了这则民谣，你有没有什么话想说?生：我觉得这还是鸡兔同笼问题。师：（追问）不对吧？这里是人和狗？生：这里的猎人有两只脚其实就是鸡，而狗就是兔。师：你说的是这个意思吗？（课件出示：猎人————鸡两条腿狗————兔四条腿）师：你能算出猎人和狗各有多少吗？用你喜欢的方法自己去试一试。（学生练习，老师巡视指导）师：算出来了？生：3个猎人，9只狗。师：到底对不对呢？我们可以带进原题当中去验算一下。（学生检验，确认结果正确）师：以前我们就接触过鸡兔同笼问题，今天又进一步研究了这类问题，可现在老师突然想到一个问题：生活中谁会将鸡和兔放在一个笼子里？即使放在一个笼子里又有谁会去数他们的脚呢?直接数头不就行了？生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？师：有些同学好像已经有了自己的想法，更多的同学还在思考，接下来咱们先做一个“猜一猜”的游戏，大家可以边猜边想。师：（出示一个信封）储老师这儿有一个信封，谁能猜出信封里放的是什么吗？生1：邮票。生2：钱。师：猜得真准，这信封里装的就是钱，放了5元和2元的钱，共7张，你能猜出信封里的人民币一共有多少钱吗？【板书：2元、5元、共7张】（学生觉得有困难，面露难色。）7师：咱们降低些难度，你能猜出大致的范围吗？生：我觉得应该在十四元到三十五元之间。师：就在这个范围内！你是怎么猜的？生：假设这些人民币全是二元，七张就是一十四元，假设全是五元的，七张就是三十五元。师：信封里一共放了二十九元，你们能猜出信封里放了几张2元，几张5元吗？【板书：共二十九元、？张、？张】师：有同学已经猜出来了，还有同学想用笔算，那你就用笔算一算。这位同学“猜”得最快，说说你是怎么“猜”的？生：假设全是二元的就是一十四元，而现在有二十九元，还多一十五元，我们就把二元的换成五元的，每换一张就多三元，这样就要换5张五元的，还剩两张二元的。师：你是这个意思吗？（课件动态演示：换纸币的过程）师：这个游戏和我们研究的鸡兔同笼问题有联系吗？生：其实这也是鸡兔同笼问题，这里的二元纸币就相当于鸡有两只脚，而五元的纸币就相当于兔，也就是五只脚的“怪兔”！师：是这个意思。（课件动态演示：将二元纸币换成鸡，将五元纸币换成五只脚的“怪兔”）（大家一看“怪兔”的模样，都乐了）师：我们也学会“奇思妙想”了，终于把兔子给“整成”了五条腿。看来我们的鸡兔同笼问题不仅包括4只脚的兔子，还可以是5只脚的怪兔。即使再出现3只脚的鸡，我们也不会觉得奇怪了，又进一步逼近了问题的本质！（说明：“猜人民币”的游戏以及课件中“怪兔”夸张变形的演示，用“数形结合”的方法把鸡兔同笼问题作进一步的概括、抽象。将学生在前一个教学环节中初步建构起的数学模型作进一步的提炼。帮助学生建构数学模型的过程是循序渐进的：由“鸡兔”到“龟鹤”再到“人狗”，这一演变的过程只是换了个“包装”，是对问题原型表象的概括；由“四脚兔”变为“五脚兔”，则是对问题本质的类推与抽象。引导学生进行联系、对比、分析，学生的思维在不断的内省、自悟中得到提升，自主建构鸡兔同笼问题的模型也便水到渠成了。）三、拓展应用师：刚才我就问大家，生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？现在大家觉得有吗？（有的学生还在思考，还有的则若有所悟地点点头。）师：下面就让我们带上一双“数学的眼睛”到我们身边去看一看……8【板书：生活】（课件出示图片：1、乒乓球赛2、儿童公园3、童话世界4、文峰商场5、校园一角）师：想先到哪里去看一看呢？生：乒乓球赛。师：这是谁呀？生：孔令辉师：对，乒乓名将孔令辉，在乒乓球比赛中有没有类似咱们今天研究的问题呢？先请大家自己读一读。（课件出示：12张乒乓球台上同时有34人正进行乒乓球比赛，正在进行单打和双打比赛的球台各有几张？）师：题目告诉我们哪些条件？生：它告诉我们共有14张球台，38人在进行比赛，单打就是2人打，双打就是4个人打。师：真厉害！一下子将两个隐含着的条件也挖出来了，共四个条件。这和我们今天探索的问题有联系吗？生：差不多，单打就可以看成