人教A版数学必修四《第一章三角函数》质量评估

章末质量评估(一)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求)1．在①160°；②480°；③－960°；④1530°这四个角中，属于第二象限角的是()．A．①B．①②C．①②③D．①②③④解析160°角显然是第二象限角；480°＝360°＋120°是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．答案C2．若2弧度的圆心角所对的弧长为2cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是()．A．4cm2B．2cm2C．4πcm2D．1cm2解析由弧长公式得2＝2R，即R＝1cm，则S＝12Rl＝12×1×2＝1(cm2)．答案D3．函数y＝cosx·tanx的值域是()．A．(－1,0)∪(0,1)B．[－1,1]C．(－1,1)D．[－1,0]∪(0,1)解析化简得y＝sinx，由cosx≠0，得sinx≠±1.故得函数的值域(－1,1)．答案C4．三角函数y＝sinx2是()．A．周期为4π的奇函数B．周期为π2的奇函数C．周期为π的偶函数D．周期为2π的偶函数解析x∈R，f(－x)＝sin－x2＝－sinx2＝－f(x)，是奇函数，T＝2π12＝4π.答案A5．已知sinα＋π12＝13，则cosα＋7π12的值为()．A.13B．－13C．－223D.223解析根据题意得：cosα＋7π12＝cosα＋π12＋π2＝－sinα＋π12＝－13，故选B.答案B6．函数f(x)＝3sin2x－π6－1的最小值和最小正周期分别是()．A．－3－1，πB．－3＋1，πC．－3，πD．－3－1,2π解析f(x)min＝－3－1，T＝2π2＝π.答案A7．要得到函数y＝f(2x＋π)的图象，只要将函数y＝f(x)的图象()．A．向左平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．向右平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D．向右平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变解析把y＝f(x)的图象向左平移π个单位得到y＝f(x＋π)，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变得到y＝f(2x＋π)．答案C8．函数y＝2sin2x－π6的图象()．A．关于原点成中心对称B．关于y轴成轴对称C．关于点π12，0成中心对称D．关于直线x＝π12成轴对称解析本题考查三角函数的图象与性质．由形如y＝Asin(ωx＋φ)函数图象的对称中心和对称轴的意义，分别将各选项代入检验即可，由于fπ12＝0，故函数的图象关于点π12，0成中心对称．答案C9．(2012·宜昌高一检测)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)的部分图象如图所示，则该函数的表达式为()．A．y＝2sin2x＋56πB．y＝2sin2x－56πC．y＝2sin2x＋π6D．y＝2sin2x－π6解析本题考查由图象求三角函数解析式．由图象可知，A＝2，ω＝2ππ＝2，当x＝π6时，y＝2，从而有2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6，故选C.答案C10．下列说法正确的是()．A．在0，π2内sinxcosxB．函数y＝2sinx＋π5的图象的一条对称轴是x＝45πC．函数y＝π1＋tan2x的最大值为πD．函数y＝sin2x的图象可以由函数y＝sin2x－π4的图象向右平移π8个单位得到解析在0，π4内有sinxcosx，所以A错；当x＝45π时，y＝2sinx＋π5＝0，所以x＝45π不是函数图象的一条对称轴，故B错；函数y＝sin2x的图象应该由函数y＝sin2x－π4的图象向左平移π8个单位得到，所以D错；而在函数y＝π1＋tan2x中，由于1＋tan2x≥1，所以y≤π，即函数y＝π1＋tan2x的最大值等于π.答案C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11．函数y＝tan2x－π4的定义域为________．解析2x－π4≠π2＋kπ，即x≠3π8＋kπ2，k∈Z.答案x|x≠3π8＋kπ2，k∈Z12．函数y＝2cosπ3－ωx的最小正周期是4π，则ω＝________.解析T＝2π|ω|＝4π，∴|ω|＝12，ω＝±12.答案±1213．若sinπ2－x＝－32，且πx2π，则x等于________．解析∵sinπ2－x＝－32，∴cosx＝－32，又∵πx2π，∴x＝7π6.答案7π614．已知tanθ＝2，则sinθsin3θ－cos3θ＝________.解析sinθsin3θ－cos3θ＝sinθsin2θ＋cos2θsin3θ－cos3θ＝tan3θ＋tanθtan3θ－1＝23＋223－1＝107.答案107三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)(2011·临沂高一检测)已知tanα＝12，求1＋2sinπ－αcos－2π－αsin2－α－sin25π2－α的值．解原式＝1＋2sinαcos()2π＋αsin2α－sin2π2－α＝1＋2sinαcosαsin2α－cos2α＝sin2α＋2sinαcosα＋cos2αsinα－cosαsinα＋cosα＝sinα＋cosαsinα－cosα＝1＋tanαtanα－1＝1＋1212－1＝－3.16．(10分)已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值．解∵sinα＝－3cosα.又sin2α＋cos2α＝1，得(－3cosα)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1.∴cosα＝±1010.又由sinα＝－3cosα，可知sinα与cosα异号，∴α在第二、四象限．①当α是第二象限角时，sinα＝31010，cosα＝－1010.②当α是第四象限角时，sinα＝－31010，cosα＝1010.17．(10分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0且ω0,0φπ2的部分图象，如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a在0，5π3上有两个不同的实根，试求a的取值范围．解(1)由图象易知函数f(x)的周期为T＝4×7π6－2π3＝2π，A＝1，所以ω＝1.法一由图可知此函数的图象是由y＝sinx的图象向左平移π3个单位得到的，故φ＝π3，所以函数解析式为f(x)＝sinx＋π3.法二由图象知f(x)过点－π3，0.则sin－π3＋φ＝0，∴－π3＋φ＝kπ，k∈Z.∴φ＝kπ＋π3，k∈Z，又∵φ∈0，π2，∴φ＝π3，∴f(x)＝sinx＋π3.(2)方程f(x)＝a在0，5π3上有两个不同的实根等价于y＝f(x)与y＝a的图象在0，5π3上有两个交点，在图中作y＝a的图象，如图为函数f(x)＝sinx＋π3在0，5π3上的图象，当x＝0时，f(x)＝32，当x＝5π3时，f(x)＝0，由图中可以看出有两个交点时，a∈32，1∪(－1,0)．18．(12分)已知f(x)＝sin2x＋π6＋32，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间．(2)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？解(1)T＝2π2＝π，由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z知kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)．所以所求的单调递增区间为kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．(2)变换情况如下：y＝sin2xy＝sin2x＋π12――――――――――――――――――――――――――→将图象上各点向上平移32个单位y＝sin2x＋π6＋32.19．(12分)如右图所示，函数y＝2cos(ωx＋θ)x∈R，ω0，0≤θ≤π2的图象与y轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点Aπ2，0，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝32，x0∈π2，π时，求x0的值．解(1)将x＝0，y＝3代入函数y＝2cos(ωx＋θ)中，得cosθ＝32，因为0≤θ≤π2，所以θ＝π6.由已知T＝π，且ω0，得ω＝2πT＝2ππ＝2.(2)因为点Aπ2，0，Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝32，所以点P的坐标为2x0－π2，3.又因为点P在y＝2cos2x＋π6的图象上，且π2≤x0≤π，所以cos4x0－5π6＝32，且7π6≤4x0－5π6≤19π6，从而得4x0－5π6＝11π6，或4x0－5π6＝13π6，即x0＝2π3，或x0＝3π4.