人教A版高中数学2-2导数测试题

导数测试题（2）一、选择题1．曲线y＝12x2－2x在点1，－32处的切线的倾斜角为()．A．－135°B．45°C．－45°D．135°解析y′＝x－2，所以斜率k＝1－2＝－1，因此，倾斜角为135°.答案D2．下列求导运算正确的是()．A.x＋3x′＝1＋3x2B．(log2x)′＝1xln2C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx解析x＋3x′＝1－3x2，所以A不正确；(3x)′＝3xln3，所以C不正确；(x2cosx)′＝2xcosx＋x2·(－sinx)，所以D不正确；(log2x)′＝1xln2，所以B正确．故选B.答案B3.已知函数32()fxaxbxcxd的图象如图，则(A)A.(,0)bB.(0,1)bC.(1,2)bD.(2,)b4．函数y＝1＋3x－x3有()．A．极小值－1，极大值1B．极小值－2，极大值3C．极小值－2，极大值2D．极小值－1，极大值3解析y′＝－3x2＋3，令y′＝0得，x＝1或x＝－1，∴f(1)＝3，f(－1)＝－1.答案D5．函数f(x)＝x2x－1()．A．在(0,2)上单调递减第10题图B．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增C．在(0,2)上单调递增D．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减解析f′(x)＝2xx－1－x2x－12＝x2－2xx－12＝xx－2x－12.令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2.∴x∈(－∞，0)和(2，＋∞)时，f′(x)0.x∈(0,1)∪(1,2)时，f′(x)0.答案B6．函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为()．A．72B．36C．12D．0解析y′＝4x3－4，令y′＝0,4x3－4＝0，x＝1，当x1时，y′0；当x1时，y′0得y极小值＝y|x＝1＝0，而端点的函数值y|x＝－2＝27，y|x＝3＝72，得ymin＝0.答案D7．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()．A．－1＜a＜2B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2D．a＜－3或a＞6解析因为f(x)有极大值和极小值，所以导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)有两个不等实根，所以Δ＝4a2－12(a＋6)＞0，得a＜－3或a＞6.答案D8．已知f(x)的导函数f′(x)图象如右图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的()．解析∵x∈(－∞，－2)时，f′(x)0，∴f(x)为减函数；同理f(x)在(－2,0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数．答案A9.函数()fx在定义域R内可导，若()(2)fxfx，且当(,1)x时，(1)()0xfx，设(0)af，1()2bf，(3)cf，则BA．abcB．cabC．cbaD.bca10.若函数()321fxaxa在区间[—1，1]上没有零点，则函数3()(1)(34)gxaxx的递减区间是（C）A．(,1)B．(1,)C．(1,1)D．(,1)(1,)11.已知定义在R上的奇函数()fx，设其导函数'()fx，当,0x时，恒有'()()xfxfx，令F(x)=x()fx，则满足(3)(21)FFx的实数x的取值范围是（A）A．（-1，2）B．1(1,)2C．1(,2)2D．（-2，1）12．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009的值为()．A．－log20102009B．－1C．(log20102009)－1D．1解析∵y′|x＝1＝n＋1，∴切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－1n＋1＝nn＋1，即xn＝nn＋1.所以log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009＝log2010(x1·x2·…·x2009)＝log201012·23·…·20092010＝log201012010＝－1.答案B二、填空题13．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值为________．解析f′(x0)＝3x20＝3，∴x0＝±1.答案±114．曲线y＝lnx在点M(e,1)处的切线的方程为________．解析由于y′＝1x，∴k＝y′|x＝e＝1e，故切线的方程为y－1＝1e(x－e)，故y＝1ex.答案1ex－ey＝015．函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是________．解析由y′＝3x2＋2x－50得x－53，或x1.答案－∞，－35，(1，＋∞)16．已知函数cbxaxxxf232131在1x处取得极大值，在2x处取得极小值，满足1(1,1)x，2(2,4)x，则2ab的取值范围是2()fxxaxb，由题意可知：2222(1)(1)(1)10(1)1110(2)22420(4)441640fababfababfababfabab所构成的区域即为图中阴影部分，四边形的四个顶点坐标分别为：(3,4),(1,2),(3,2),(5,4),可验证得：当5,4ab时，2zab取得最大值为3；当3,4ab时，2zab取得最小值为11.于是2zab的取值范围是(11,3).三、解答题17.已知14)(234axxxxf在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减.（1）求a的值；（2）是否存在实数b，使函数1)(2bxxg的图像与f(x)的图像恰有两个交点，若存在，求出实数b的值；若不存在，说明理由.．解：（1）∵)(xf在[0，1]在上单调递增，在[1，2]上单调递减，.0)1(f…（2分）又axxxf2124)1(23，∴.4,02124)1(aaf………………………………………………………（5分）（2）∵11442234bxxxx，∴,0)4(4234xbxx∴.0)44(22bxxx…………………………………………………………………（7分）)(xf与)(xg的图象恰有两个交点，∴0442bxx有两等根且不为0，即=16,0)4(4b得;0b或0442bxx有两根，且一根为0，另一根不为0.∴,4b综上当4b0或b时)(xf与)(xg的图象恰有两个交点………………………（12分）18.设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．解(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.∵f(x)在x＝3处取得极值，∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，解得a＝3.∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.(2)A点在f(x)上，由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，f′(1)＝6－24＋18＝0，∴切线方程为y＝16.19．设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为12，求a的值．解函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝1x－12－x＋a.(1)当a＝1时，f′(x)＝－x2＋2x2－x，所以f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)．(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝2－2xx2－x＋a0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝12.20．给定函数f(x)＝x33－ax2＋(a2－1)x和g(x)＝x＋a2x.(1)求证：f(x)总有两个极值点；(2)若f(x)和g(x)有相同的极值点，求a的值．(1)证明因为f′(x)＝x2－2ax＋(a2－1)＝[x－(a＋1)]·[x－(a－1)]，令f′(x)＝0，解得x1＝a＋1，x2＝a－1.当xa－1时，f′(x)0；当a－1xa＋1，f′(x)0.所以x＝a－1为f(x)的一个极大值点．同理可证x＝a＋1为f(x)的一个极小值点．所以f(x)总有两个极值点．(2)解因为g′(x)＝1－a2x2＝x－ax＋ax2.令g′(x)＝0，则x1＝a，x2＝－a.因为f(x)和g(x)有相同的极值点，且x1＝a和a＋1，a－1不可能相等，所以当－a＝a＋1时，a＝－12；当－a＝a－1时，a＝12.经检验，当a＝－12和a＝12时，x1＝a，x2＝－a都是g(x)的极值点．21．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－1与x＝2处都取得极值．(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；(2)若对x∈[－2,3]，不等式f(x)＋32cc2恒成立，求c的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意得f′－1＝0，f′2＝0，即3－2a＋b＝0，12＋4a＋b＝0，解得a＝－32，b＝－6.∴f(x)＝x3－32x2－6x＋c，f′(x)＝3x2－3x－6.令f′(x)0，解得－1x2；令f′(x)0，解得x－1或x2.∴f(x)的减区间为(－1,2)，增区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)．(2)由(1)知，f(x)在(－∞，－1)上单调递增；在(－1,2)上单调递减；在(2，＋∞)上单调递增．∴x∈[－2,3]时，f(x)的最大值即为f(－1)与f(3)中的较大者．f(－1)＝72＋c，f(3)＝－92＋c.∴当x＝－1时，f(x)取得最大值．要使f(x)＋32cc2，只需c2f(－1)＋32c，即2c27＋5c，解得c－1或c72.∴c的取值范围为(－∞，－1)∪72，＋∞.22．若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－43.(1)求函数的解析式．(2)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．解f′(x)＝3ax2－b.(1)由题意得f′2＝12a－b＝0，f2＝8a－2b＋4＝－43，解得a＝13，b＝4，故所求函数的解析式为f(x)＝13x3－4x＋4.(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)283－43因此，当x＝－2时，f(x)有极大值283，当x＝2时，f(x)有极小值－43，所以函数f(x)＝13x3－4x＋4的图象大致如图所示．若f(x)＝k有3个不同的根，则直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，所以－43k283.