人教版-高中数学选修2-3_1.1_分类加法计数原理与分步乘法计数原理

§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理计数原理2008年29届夏季奥运会在北京举行．奥运会足球赛共有１６个队参赛．它们先分成４个小组进行循环赛，决出８强，这８个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名．问一共安排了多少场比赛？实际问题要回答这个问题，就要用到排列、组合的知识．在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理．问题2秋天到了，学校举行“全民健身”登山活动,山的南面有3条登山路线,山的北面有2条登山路线,要登上山顶,问共有多少种不同的路线？问题1某班级有34位男生,15位女生,现要选一位同学参加演讲比赛,则有多少种不同的选法？探究1：你能说说以上两个问题的共同特征吗？分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.问题2秋天到了，学校举行“全民健身”登山活动,山的南面有3条登山路线,山的北面有2条登山路线,要登上山顶,问共有多少种不同的路线？问题1我们班级有34位男生,15位女生,现要选一位同学参加演讲比赛,则有多少种不同的选法？,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.完成一件事有两类不同方案例1：在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选择一个专业,那么他共有多少种选择呢？想一想在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选择一个专业,那么他共有多少种选择呢？C大学环境科学地质学车辆工程探究2：如果完成一件事有三类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法？N=m1+m2+m3想一想：如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n类方案，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法……在第n类方案中有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.1m2mnm12nNmmm1、一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是.2、现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生4名.从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？3、用一个大写英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？练习：如果做一件事情，完成它需要n个步骤，在第一步中有m1种不同的方法，在第二步中有m2种不同的法，……在第n步中有mn类不同的方法，那么完成这件事情有N=m1×m2×m3×…….×mn种不同的方法.如果做一件事情，完成它需要三个步骤，在第一步中有m1种不同的方法，在第二步中有m2种不同的法，在第三步中有m3类不同的方法，那么完成这件事情有N=m1×m2×m3种不同的方法.分类计数原理与分步计数原理有什么异同？不同点：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．相同点：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题。例2书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？例3.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？解：第1步：从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法第2步：从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N＝3×2＝61、在由电键组A、B组成的串联电路中，如图，要接通电源，使电灯发光的方法有几种？练习：2、某学校的一个班级组织学生义务献血，在体检合格的学生中，是o型血的有10人，A型血的有7人，B型血的有8人，AB型血的有5人，（1）从中任选1名学生去献血，有多少种不同的选法？练习：（2）从四种血型的学生中各选1名学生去献血，有多少种不同的选法？（3）从中任选2名具有不同血型的学生去献血，有多少种不同的选法？例4、给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个要求用数字1～9，问最多可以给多少个程序命名？解：第1步：选首字符，共有7＋6＝13种选法第2步：选中间字符，共有9种选法第3步，选最后一个字符，共有9种选法根据分步计数原理，最多可以有13×9×9＝1053个不同的名称例5核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有4种不同的碱基，分别用A，C，G，U表示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少个不同的RNA分子？AGCUAAAUGGCC4100个例6电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.问：（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国际码（GB码）包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？(1)256个(2)2个例7计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试，程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成.如图所示是一个具有许多执行路径的程序模块.（1）这个程序模块有多少条执行路径；（2）为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？开始子模块118条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径结束A7371条178次例8随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？共能给22464000辆汽车上牌照.用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步。分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”1、要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？练习：3、从数字1、2、3、4、5中任选三个数字可以组成多少个无重复数字的三位数？2、乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？4、由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个有重复数字的三位数？5、３个班分别从５个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是３５还是５３？7、集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},从A到B的映射有多少个？6、某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法？ADCB8、用5种不同颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻区域的颜色不同，求共有多少种不同的涂色方法？9、如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少种不同地走法？甲地丙地丁地乙地10、如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？AB11、集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4}．从A,B中各取1个元素作为点P(x,y)的坐标．（1）可以得到多少个不同的点？（2）这些点中，位于第一象限的有几个？13、在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？12、甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有几种不同的推选方法.14、有架楼梯共6级，每次只允许上一级或两级，求上完这架楼梯共有多少种不同的走法？15、某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？16、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点颜色不同，如果只有5种颜色可供使用，求共有多少种不同的染色方法？SDCBA①用0，1，2，……，9可以组成多少个8位号码；⑥用0，1，2，……，9可以组成多少个有两个重复数字的4位整数．⑤用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位奇数；④用0，1，2，……，9可以组成多少个有重复数字的4位整数；③用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位整数；②用0，1，2，……，9可以组成多少个8位整数；17、