人教版A数学选修2-1第二章2.3.2知能演练轻松闯关

1.过双曲线x2－y2＝4的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A，B两点，则AB的长为()A．2B．4C．8D．42解析：选B.双曲线x2－y2＝4的焦点为(±22，0)，把x＝22代入并解得y＝±2，∴|AB|＝2－(－2)＝4.2.(2012·菏泽质检)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为()A．x2－y2＝1B．x2－y2＝2C．x2－y2＝2D．x2－y2＝12解析：选B.由已知c＝2，∴a＝b＝22c＝2，所以双曲线的标准方程是：x22－y22＝1.3.若双曲线x24－y2m＝1的渐近线方程为y＝±32x，则双曲线的焦点坐标是__________．解析：由渐近线方程为y＝±m2x＝±32x，得m＝3，c＝7，且焦点在x轴上．答案：(±7，0)4.已知双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x225＋y29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．解析：椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，故c＝4，且满足ca＝2，故a＝2，b＝c2－a2＝23，所以双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±3x.答案：(4，0)，(－4，0)y＝±3x[A级基础达标]1.双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是()A．y＝±3xB．y＝±13xC．y＝±3xD．y＝±33x解析：选C.把方程右边的“3”换为“0”，即得渐近线方程为y＝±3x.2.(2012·岳阳质检)等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则其标准方程为()A.x29－y29＝1B.y29－x29＝1C.y218－x218＝1D.x218－y218＝1解析：选D.因等轴双曲线的焦点为(－6，0)，∴c＝6，∴2a2＝36，a2＝18.∴双曲线的标准方程为x218－y218＝1.3.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为()A．－14B．－4C．4D.14解析：选A.由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m0，则双曲线方程可化为y2－x2－1m＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－1m＝b2＝4，∴m＝－14，故选A.4.若双曲线x2k＋4＋y29＝1的离心率为2，则k＝__________．解析：∵x2k＋4＋y29＝1是双曲线，∴k＋40.∴k－4.∴a2＝9，b2＝－(k＋4)．∴c2＝a2＋b2＝9－k－4＝5－k.∴ca＝5－k3＝2.∴5－k＝36.∴k＝－31.答案：－315.双曲线以椭圆x29＋y225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，则双曲线的方程为__________．解析：椭圆中a＝5，b＝3，c＝25－9＝4，∴焦点为(0，－4)，(0，4)，离心率e＝ca＝45.∴所求双曲线的离心率为85，焦点为(0，－4)，(0，4)．∴c′＝4，e′＝c′a′＝85.∴a′＝52.∴(b′)2＝(c′)2－(a′)2＝16－254＝394.∴双曲线方程为4y225－4x239＝1.答案：4y225－4x239＝16.根据下列条件求双曲线的标准方程：(1)经过点154，3，且一条渐近线方程为4x＋3y＝0；(2)P(0，6)与两个焦点的连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.解：(1)因渐近线为4x＋3y＝0，故可设双曲线的方程为：16x2－9y2＝k，①将154，3代入得：k＝225－81＝144.代入①并整理得：x29－y216＝1.故所求双曲线的标准方程为x29－y216＝1.(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在x轴上，∵PF1⊥PF2，且|OP|＝6，∴2c＝|F1F2|＝2|OP|＝12，∴c＝6.又P与两顶点连线夹角为π3.∴a＝|OP|·tanπ6＝23，∴b2＝c2－a2＝24.故所求双曲线的标准方程为x212－y224＝1.[B级能力提升]7.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为()A.y24－x24＝1B.x24－y24＝1C.y24－x29＝1D.x29－y24＝1解析：选A.2a＋2b＝2·2c，即a＋b＝2c，∴a2＋2ab＋b2＝2(a2＋b2)，∴(a－b)2＝0，即a＝b.∵一个顶点坐标为(0，2)，∴a2＝b2＝4，∴y2－x2＝4，即y24－x24＝1.8.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e为()A．2B．3C.43D.53解析：选D.依题意，2a＋2c＝2·2b，∴a2＋2ac＋c2＝4(c2－a2)，即3c2－2ac－5a2＝0，∴3e2－2e－5＝0，∴e＝53或e＝－1(舍)．故选D.9.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为__________．解析：连接虚轴一个端点、一个焦点及原点构成三角形(图略)，由条件知，这个三角形的两直角边分别是b、c(b是虚半轴长，c是半焦距)，且一个内角是30°，即得bc＝tan30°，所以c＝3b.所以a＝2b，离心率e＝ca＝32＝62.所以应填62.答案：6210.双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)，F2(0，5)，点P(3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，试求双曲线方程与椭圆的方程．解：由共同的焦点F1(0，－5)，F2(0，5)，可设椭圆方程为y2a2＋x2a2－25＝1(a225)；双曲线方程为y2b2－x225－b2＝1(0b225)，点P(3，4)在椭圆上，16a2＋9a2－25＝1，得a2＝40，双曲线过点P(3，4)的渐近线为y＝b25－b2x，即4＝b25－b2×3，b2＝16，所以椭圆方程为y240＋x215＝1；双曲线方程为y216－x29＝1.11.(创新题)已知点N(1，2)，过点N的直线交双曲线x2－y22＝1于A、B两点，且ON→＝12(OA→＋OB→)．求直线AB的方程．解：由题意知直线AB的斜率存在．设直线AB：y＝k(x－1)＋2，代入x2－y22＝1，得(2－k2)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0.(*)令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是方程(*)的两根，∴2－k2≠0，且x1＋x2＝2k（2－k）2－k2.∵ON→＝12(OA→＋OB→)，∴N是AB的中点，∴x1＋x22＝1，∴k(2－k)＝－k2＋2，k＝1，∴直线AB的方程为y＝x＋1.