人教版九下数学《反比例函数的图像和性质》教学案

牛心顶学校初中部九年级数学学科教学设计-5-主备人王启财备课时间2015.2.26上课时间2015、3、2审核人王启财课题26.1.2反比例函数的图像和性质教学目标1。知识与技能会画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别，能从反比例函数的图象上分析出简单的性质。能用反比例函数的定义和性质解决实际问题。2。过程与方法通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力。同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征。3。情感、态度与价值观由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣。重点难点重点反比例函数图象的画法及探究，反比例函数的性质的运用难点反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析教学方法教法数形结合的方法结合学生的探究总结规律学法动手实践，讨论观察总结规律教具准备直尺，三角板教学时数2教教学流程课前自主学习复习正比例函数和一次函数二次函数的图像和性质。画函数图像的一般步骤。课堂导学第一课时师生互动补充修正一、导入新课问题：1。若y=(21)(1)nnx是反比例函数，则n必须满足条件n≠12或n≠-1。2。用描点法画图象的步骤简单地说是列表、描点、连线。3。试用描点法画出下列函数的图象：（1）y=2x；（2）y=1-2x。二、探究学习问题：我们已知道，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，那么反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象是什么样呢？尝试用描点法来画出反比例函数的图象。画出反比例函数y=6x和y=-6x的图象。解：列表x…-6-5-4-3-2-1123456…y=6x-1-1.2-1.5-2-3-663231.21y=-6x11.21.5236-6-3-2-1.5-1.2-1描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点。连线，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来牛心顶学校初中部九年级数学学科教学设计-6-探究反比例函数y=6x和y=-6x的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？做一做把y=6x和y=-6x的图象放到同一坐标系中，观察一下，看它们是否对称。归纳反比例函数y=6x和y=-6x的图象的共同特征：（1）它们都由两条曲线组成。（2）随着x的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x轴、y轴）。（3）反比例函数的图象属于双曲线（hyperbola）。此外，y=6x的图象和y=-6x的图象关于x轴对称，也关于y轴对称。做一做在平面直角坐标系中画出反比例函数y=3x和y=-3x的图象。交流两个函数图象都用描点法画出？分析】由y=6x和y=-6x的图象及y=3x和y=-3x的图象知道，（1）它们有什么共同特征和不同点？（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？（3）在每一个象限内，y随x的变化而如何变化？猜想反比例函数y=kx（k≠0）的图象在哪些象限由什么因素决定？在每一个象限内，y随x的变化情况如何？它可能与坐标轴相交吗？【归纳】（1）反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线。（2）当k0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小。（3）当k0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大。三、迁移拓展例题指出当k0时，下列图象中哪些可能是y=kx与y=kx（k≠0）在同一坐标系中的图象（）牛心顶学校初中部九年级数学学科教学设计-7-【分析】对于y=kx来说，当k0时，图象经过一、三象限，当k0时，图象经过二、四象限；对于y=kx来说，当k0时，图象在一、三象限，当k0时，图象在二、四象限，所以应选B。【答案】B备选例题1。（2005年中考·泉州）请你写出一个反比例函数的解析式，使它的图象在第一、三象限。2。（2005年中考·宣昌）如图所示的函数图象的关系式可能是（）A。y=xB。y=1xC。y=x2D。y=1||x四、总结收获1。画反比例函数的图象。2。反比例函数的性质。3。反比例函数的图象在哪个象限由k决定，且y值随x值变化只能在“每一个象限内”研究。4。在y=kx（k≠0）中，由于x≠0，同时y≠0，因此双曲线两个分支不可能到达坐标轴。五、巩固训练1。已知反比例函数y=kx的图象如图所示，则k0，在图象的每一支上，y值随x的增大而减小。2。下列图象中，是反比例函数的图象的是（D）3。（2005年中考·东营）在反比例函数y=kx（k0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x20，则y1-y2的值为（A）（A）正数（B）负数（C）非正数（D）非负数牛心顶学校初中部九年级数学学科教学设计-8-六、布置作业4。（2005年中考·苏州）已知反比例函数y=2kx的图象在第一、三象限内，则k的值可是________（写出满足条件的一个k值即可）。【答案】略5。在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为倒数，则这点一定在函数图象上y=1x（填函数关系式）。6。若一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y=kbx的图象一定在二、四象限。开放探究7。两个不同的反比例函数的图象是否会相交？为什么？【答案】不会相交，因为当k1≠k2时，方程1kx＝2kx无解。8。点A（a，b）、B（a-1，c）均在反比例函数y=1x的图象上，若a0，则bc。第二课时师生互动补充修正一、导入新课老师在黑板上写了这样一道题：“已知点（2，5）在反比例函数y=?x的图象上，试判断点（-5，-2）是否也在此图象上。”题中的“？”是被一个同学不小心擦掉的一个数字，请你分析一下“？”代表什么数，并解答此题目。二、探究学习探究点（2，5）在反比例函数图象上，其坐标当然满足函数解析式，因此，代入后易求得？=10，即反比例函数关系式为y=10x，再当x=-5时，代入易求得y=-2，说明点（-5，-2）适合此函数解析式，进而说明点（-5，-2）一定在其函数图象上。交流与同学们分享成功的喜悦。三、迁移拓展例1已知反比例函数的图象经过点A（2，6）（1）这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大而如何变化？（2）点B（3，4）、C（-212，-445）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？解：（1）设这个反比例函数为y=kx，因为它过点A（2，6），所以把坐标代入得6=2k，解得k=12，此反比例函数式为y=12x，又因k=120，所以图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。牛心顶学校初中部九年级数学学科教学设计-9-（2）把点B、C、D的坐标分别代入y=12x，知点B、C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，所以点B、C在函数y=12x的图象上，点D不在这个函数的图象上。例2：三个反比例函数y=1kx（2）y=2kx（3）y=3kx在x轴上方的图象如图所示，由此推出k1，k2，k3的大小关系【分析】由图象所在的象限可知，k10，k20，k30；在（2）（3）中，为了比较k2与k3的大小，可取x=a0，作直线x=a，与两图象相交，找到y=2kx与y=3kx的对应函数值b和c，由于k2=ab，k3=ac，而cb0，因而k3k2k1。【答案】k3k2k1。例3直线y=kx与反比例函数y=-6x的图象相交于点A、B，过点A作AC垂直于y轴于点C，求S△ABC。解：反比例函数的图象关系原点对称，又y=kx过原点，故点A、B必关于原点对称，从而有OA=OB，所以S△AOC=S△BOC。设点A坐标为（x1，y1），则xy=-6，且由题意AC=│x1│，OC=│y1│。故S△AOC=12AC·OC=12│x1y1│=12×6=3，从而S△ABC=2S△AOC=6。四、总结收获反比例函数的性质及运用（1）k的符号决定图象所在象限。（2）在每一象限内，y随x的变化情况，在不同象限，不能运用此性质。（3）从反比例函数y=kx的图象上任一点向一坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形面积S△=12│k│。（4）性质与图象在涉及点的坐标，确定解析式方面的运用五、巩固训练1。判断下列说法是否正确（1）反比例函数图象的每个分支只能无限接近x轴和y轴，但永远也不可能到达x轴或y轴。（∨）（2）在y=3x中，由于30，所以y一定随x的增大而减小。（×）牛心顶学校初中部九年级数学学科教学设计-10-（3）已知点A（-3，a）、B（-2，b）、C（4，c）均在y=-2x的图象上，则abc。（×）（4）反比例函数图象若过点（a，b），则它一定过点（-a，-b）。（∨）2。设反比例函数y=3mx的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），且当x10x2时，有y1y2，则m的取值范围是m3。3。点（1，3）在反比例函数y=kx的图象上，则k=3，在图象的每一支上，y随x的增大而减小。4。正比例函数y=x的图象与反比例函数y=kx的图象有一个交点的纵坐标是2，求（1）x=-3时反比例函数y的值；（2）当-3x-1时，反比例函数y的取值范围。【答案】（1）-43，（2）-49-435。（2005年中考·资阳）已知正比例函数y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=2kx（k2≠0）的图象有一个交点的坐标为（-2，-1），则它的另一个交点的坐标是（A）A。（2，1）B。（-2，-1）C。（-2，1）D。（2，-1）6。（2005年中考·沈阳）如图所示，已知直线y1=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y2=kx（k0）分别交于点C、D，且C点坐标为（-1，2）。（1）分别求直线AB与双曲线的解析式；（2）求出点D的坐标；（3）利用图象直接写出当x在什么范围内取何值时，y1y2。六、布置作业1。（2005年中考·兰州）已知函数y=-kx（k≠0）和y=-4x的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为C，则S△BOC=_________。2。（2005年中考·常德）已知正比例函数y=kx和反比例函数y=3x的图象都过点A（m，1），求此正比例函数解析式及另一交点的坐标。【答案】1。2；2。y=13x，（-3，-1）牛心顶学校初中部九年级数学学科教学设计-11-板书设计26.2.1反比例函数的图像和性质（1）1、反比例函数的图像是关于原点对称的双曲线2、反比例函数的性质反比例函数的图象和性质图象性质双曲线的两个分支分别位于一、三象限双曲线的两个分支分别位于二、四象限在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大x的取值范围是0xy的取值范围是0y两个分支都无限接近于坐标轴，但是永远不能到达x轴和y轴中心对称图形：图象关于坐标原点中心对称轴对称图形：既关于直线y=x对称，也关于直线y=-x对称1.（1）y随x的变化问题如果双曲线y=12mx，当x0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（）A．m0B．m12C．m12D．m≥122）值比较大小问题例：若点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)都是反比例函数y＝－1x的图象上的点，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是()A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D.y1＜y3＜y2（3）反比例函数0kxky中系数k的几何意义如图，牛心顶学校初中部九年级数学学科教学设计-12-①kS②kS21教学反思PDoyxPDoyxxyoMNpxyoxyoMNp