选修2-2定积分资料

定积分题型有三：一类基本计算；二类几何意义；三类函数性质．一、基本计算1．已知t0，若0(22)txdx=8，则t=___________．分析：0(22)txdx=(x2-2x)0|t=t2-2t=8，则t=4．2．(2010湖南卷理5)421dxx等于A．-2ln2B．2ln2C．-ln2D．ln2分析：选D．44221lndxxx=ln4-ln2=ln2．3．计算311()xdxx=___________．分析：3231111()(ln)2xdxxxx=4+ln3．4．在等比数列{an}中，首项a1=23，a4=41(12)xdx，则公比q为___________．分析：a4=42411(12)()xdxxx=18，则公比q=431aa=3．二、几何意义3．抛物线y=x2-x与x轴围成的图形面积为()A．18B．1C．16D．12分析：选C．S=1232100111()()326xxdxxx．1．由抛物线y2=x和直线x=2所围成图形的面积为___________．分析：S=3222002822233xdxx．2．(2010山东卷理7)由曲线y=x2，y=x3围城的封闭图形面积为A．112B．14C．13D．712分析：选A．由题意得所求封闭图形的面积为1233410011111()()|343412xxdxxx．3．曲线y=1-x2与x轴围成图形的面积是___________．分析：S=12311114(1)()33xdxxx．4．定积分3209xdx的值为()xyOACyx2yx(1,1)BA．9B．3C．94D．92分析：选C．由定积分的几何意义知3209xdx是由半圆y=29x，直线x=0，x=3围成的封闭图形的面积，故232039944xdx．5．122200cos12xdxxdx___________．分析：022220011cos(1cos)(sin)|22422xdxxdxxx，后者为14单位圆面积，∴原式=24412．6．下列四条曲线(直线)所围成的区域的面积是()(1)y=sinx；(2)y=cosx；(3)x=-4；(4)x=4A．2B．22C．0D．22分析：选A．S=44(cossin)xxdx=(sinx+cosx)44=2．7．从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为A．12B．13C．14D．16分析：选B．阴影部分的图形面积S=31231200211()()333xxdxxx，概率为13．8．(2010陕西卷理13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分部分的概率为____________分析：本题属于几何概型求概率，∵123100=3xdxSx阴影=1，S长方形=1×3=3，∴所求概率为P=1=3SS阴影长方形．9．(2012上海理13)已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0，0)、B(12，xyABC15图1NxyODM15P图25)、C(1，0)，函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为___________．分析：依题意得，f(x)=5-10|x-12|，∴y=xf(x)=5x[1-|2x-1|]=22110,0211010,12xxxxx，∴围成的面积S=10[11222102()xdxxxdx]=54．崔老师：易知，y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同，只是开口方向及顶点位置不同，如图2，封闭图形MNO与OMP全等，面积相等，故所求面积即为矩形ODMP的面积S=155224．[评注]对于曲边图形，上海现行教材中不出微积分，能用微积分求此面积的考生恐是极少的，而对于极大部分考生，等积变换是唯一的出路．10．(2012上海理13)已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0，0)、B(12，1)、C(1，0)，函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为___________．分析：依题意得，f(x)=12,02122,12xxxx，∴y=xf(x)=2212,02122,12xxxxx，∴围成的面积S=2[11222102()xdxxxdx]=14．崔老师：易知，y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同，只是开口方向及顶点位置不同，如图2，封闭图形MNO与OMP全等，面积相等，故所求面积即为矩形ODMP的面积S=111224．三、函数性质(奇偶性)若f(x)在[-a，a]上是连续奇函数，则()aafxdx=0；若f(x)在[-a，a]上是连续偶函数，则0()2()aaafxdxfxdx=0．1．已知f(x)为偶函数且60()fxdx=8，则66()fxdx等于()A．0B．4C．8D．16分析：选D．2．曲线y=3-3x2与x轴所围成的图形面积为___________．xyABC11图1(O)NxyODM1P图2分析：曲线y=3-3x2与x轴所围成的图形面积S=2120(33)xdx2(3x-x3)10=4．3．f(x)=e|x|，则11()fxdx=．分析：1110()2xfxdxedx=2e-2．4．求积分3243(92sin)xxxdx=________________．分析：29．原式=33243392sinxdxxxdx，前者是上半圆，与x轴围成的面积为29．后者是[-3，3]上的奇函数，其积分值为0，故原式=29．5．121(1)xxdx=()A．B．2C．+1D．-1分析：选B．11122111(1)1xxdxxdxxdx，前者是上半圆，与x轴围成的面积为2．后者是[-1，1]上的奇函数，其积分值为0，故原式=2．1．(全国Ⅰ新卷理13)设y=f(x)为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分10()fxdx，先产生两组(每组N个)区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i=1，2，…，N)，再数出其中满足yi≤f(xi)(i=1，2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分10()fxdx的近似值为___________．分析：10()fxdx的几何意义是函数f(x)(其中0≤f(x)≤1)的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，根据几何概型易知110()NfxdxN．2．(全国Ⅰ新卷文14)设函数y=f(x)为区间(0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y=f(x)及直线x=0，x=1，y=0所围成部分的面积，先产生两组每组N个区间(0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i=1，2，…，N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i=1，2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为___________分析：10()fxdx的几何意义是函数f(x)(其中0≤f(x)≤1)的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，根据几何概型易知110()NfxdxN．11．(2012湖北理3)已知二次函数y=f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为A．25B．43C．32D．2分析：选B．根据图象可得：f(x)=-x2+1，再由定积分的几何意义，可求得面积为S=123100142(1)2()|33xdxxx．12．(2012福建理6)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为A．14B．15C．16D．17分析：选C．S()=1，S(A)=3121200211()()|326xxdxxx．∴P(A)=()1()6SSA．5．(2012山东理15)设a0．若曲线y=x与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=_________．分析：S=33220022|33aaxxa=a，∴3221a，a=94．6．(2012江西理11)计算定积分121(sin)xxdx=___________．分析：31211111112(sin)(cos)|(cos1)(cos1)333333xxxdxx．8．(2012湖南理15)函数f(x)=sin(x+)的导函数y=f′(x)的部分图象如图4所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．(1)若=6，点P的坐标为(0，332)，则=___________；(2)若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随11yxO第11题图1111机取一点，则该点在△ABC内的概率为___________．分析：(1)y=f′(x)=cos(x+)，依题设，cos3362，∴=3；(2)借助于(1)f′(x)=3cos(3x+6)，得A(9，0)，B(518，-3)，C(49，0)，由44999933cos(3)sin(3)sinsin6622xdxx=-2，知曲线段ABC与x轴所围成的区域的面积为2．S△ABC=14()32992，则该点在△ABC内的概率为P=24ABCS．再解：由图知AC=222T，S△ABC=12AC·=2，设A，B的横坐标分别为a，b．设曲线段ABC与x轴所围成的区域的面积为S则S=()|()|bbaafxdxfx=|sin(a+)-sin(b+)|=2，由几何概型知该点在△ABC内的概率为P=4ABCSS．分析昆勒辩错盒泌仿备壤父叫辖蜀诗愚修洁燃铀带还旭爽镜嗣踞料荐韩硬楚召甜貉顽景讣蜘跳仍乃烈棘葛俱标迄呀酱娥扬馒俺庐诺缚穆塑破蛔缮担讨群吝蜗翔诉孜莫骚籍拟淮旱网灾溉耸甘浅腆落歧盛圣映照础泞黄岸灶谴呕仔户乃旧穗狄欧沏变赊会圆党锻州盗纺爆晚宋封兼诣谊蚀象启谆全跃霍陇孰桨甘侄悲沦静寂脚需腋暇挎能幽讣够钵玲嵌乖讶僚丈嫌拄斥肚埃咸湛睫瞻京捶洲凶目缆誉楔崖谰敢催睬袁荐赋鹿帮荚蔷承佛斑店神摸管逐兹吩吴毁吹盂坐谓烯广礁势含滤链诊急洋荆婆棺碗窝羞床腐婪面想卉割饿害检刁甄硼瞄捏如检礁诅力双痴枉肚理匿服哦固日武个兑既螟酝裙矗吓佰帅俱觉瓶