利用导数研究函数的单调性的题型分析

.....利用导数研究函数的单调性题型分析题型一：利用导数求函数的单调区间例：求下列函数的单调区间．(1)y＝2x3－3x(2)f(x)＝3x2－2lnx.解：(1)由题意得y′＝6x2－3.令y′＝6x2－3＞0，解得x＜－22或x＞22，当x∈(－∞，－22)时，函数为增函数，当x∈(22，＋∞)时，函数也为增函数．令y′＝6x2－3＜0，解得－22＜x＜22，当x∈(－22，22)时，函数为减函数．故函数的递增区间为(－∞，－22)和(22，＋∞)，递减区间为(－22，22)．(2)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－2x＝2·3x2－1x.令f′(x)＞0，即2·3x2－1x＞0.且x＞0，可解得x＞33；令f′(x)＜0，即2·3x2－1x＜0，由x＞0得，0＜x＜33，∴f(x)的增区间为(33，＋∞)，减区间为(0，33)．规律总结：1．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R可以省略不写．2．当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接，如(1)题中的增区间．变式训练：求下列函数的单调区间：(1)求函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－3的单调区间；(2)求函数y＝x3－2x2＋x的单调区间．【解】(1)此函数的定义域为R，f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．令6(x－1)(x－2)＜0，解得1＜x＜2，.....所以函数f(x)的单调递减区间是(1,2)．令6(x－1)(x－2)＞0，解得x＞2或x＜1，所以函数f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)，(－∞，1)．(2)此函数的定义域为R.y′＝3x2－4x＋1，令3x2－4x＋1＞0，解得x＞1或x＜13.因此y＝x3－2x2＋x的单调递增区间为(1，＋∞)，(－∞，13)．再令3x2－4x＋1＜0，解得13＜x＜1.因此y＝x3－2x2＋x的单调递减区间为(13，1)．例：讨论函数f(x)＝bxx2－1(－1＜x＜1，b≠0)的单调性．【思路探究】(1)函数的定义域是怎样的？函数是奇函数还是偶函数？(2)若先讨论x∈(0,1)上的单调性，能否判断f′(x)在(0,1)上的正负？b的取值对其有影响吗？解：因f(x)的定义域为(－1,1)；函数f(x)是奇函数，∴只需讨论函数在(0,1)上的单调性．∵f′(x)＝222)1()1(xxb当0＜x＜1时，x2＋1＞0，(x2－1)2＞0，∴0)1()1(222xx∴当b＞0时，f′(x)＜0.∴函数f(x)在(0,1)上是减函数；当b＜0时，f′(x)＞0，∴函数f(x)在(0,1)上是增函数；又函数f(x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，从而可知：当b＞0时，f(x)在(－1,1)上是减函数；当b＜0时，f(x)在(－1,1)上是增函数．规律方法：1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)＞0(f′(x)＜0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导数f′(x)；②判断f′(x)的符号；③给出单调性结论．2．导数的正负决定了函数的增减，当导函数中含有参数时，应注意对参数进行分类讨论．变式训练：求函数y＝x＋bx(b≠0)的单调区间．【解】函数y＝x＋bx(b≠0)的定义域为{x|x≠0}，y′＝1－bx2＝x2－bx2......①当b＜0时，在函数定义域内y′＞0恒成立，所以函数的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；②当b＞0时，令y′＞0，解得x＞b或x＜－b，所以函数的单调递增区间为(－∞，－b)和(b，＋∞)；令y′＜0，解得－b＜x＜b且x≠0，所以函数的单调递减区间为(－b，0)和(0，b).题型二：利用函数单调性求参数例：(2013·郑州模拟)函数f(x)＝ax＋xlnx，且图象在点))1(,1(efe处的切线斜率为1(e为自然对数的底数)．(1)求实数a的值；(2)设()()1fxxgxx，研究函数g(x)的单调性解：(1)f(x)＝ax＋xlnx，f′(x)＝a＋1＋lnx，依题意)1('ef＝a＝1，所以a＝1.(2)因为()()1fxxgxx＝xlnxx－1，所以g′(x)＝x－1－lnxx－12.设φ(x)＝x－1－lnx，则φ′(x)＝1－1x.当x1时，φ′(x)＝1－1x0，φ(x)是增函数，对∀x1，φ(x)φ(1)＝0，即当x1时，g′(x)0，故g(x)在(1，＋∞)上为增函数；当0x1时，φ′(x)＝1－1x0，φ(x)是减函数，对∀x∈(0,1)，φ(x)φ(1)＝0，即当0x1时，g′(x)0，故g(x)在(0,1)上为增函数．方法规律：1．导数法求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)0和f′(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．2．导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求f′(x)；(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f′(x)0时为增函数；f′(x)0时为减函数．3．导数法求参数的取值范围：已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)，转化为不等式恒成立求解．.....训练：1.若函数1ln212xxxf在其定义域内的一个子区间1,1kk内不是单调函数，则实数k的取值范围_______________.解：函数()fx的定义域为(0,)，21(2)1(21)(21)'()2222xxxfxxxxx，由'()0fx得12x，由'()0fx得102x，要使函数在定义域内的一个子区间1,1kk内不是单调函数，则有10112kk，解得312k，即k的取值范围是3[1,)2.2.(2013·湖北省八校高三第二次联考)已知函数f(x)＝(x＋a)2－7blnx＋1，其中a，b是常数且a≠0.(1)若b＝1时，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；(2)当b＝47a2时，讨论f(x)的单调性．【解】(1)∵b＝1，∴f(x)＝(x＋a)2－7lnx＋1，∴f′(x)＝2x＋2a－7x.∵当x1时，f(x)是增函数，∴f′(x)＝2x＋2a－7x≥0在x1时恒成立．即a≥72x－x在x1时恒成立．∵当x1时，y＝72x－x是减函数，∴当x1时，y＝72x－x52，∴a≥52.故a的取值范围是[52，＋∞)．(2)∵b＝47a2，∴f(x)＝(x＋a)2－4a2lnx＋1，x∈(0，＋∞)．∴f′(x)＝2x2＋2ax－4a2x＝2（x－a）（x＋2a）x.当a0时，f′(x)0，得xa或x－2a，故f(x)的减区间为(0，a)，增区间为(a，＋∞)；当a0时，f′(x)0，得x－2a或xa，故f(x)的减区间为(0，－2a)，增区间为(－2a，＋∞)．3.设函数f(x)＝ax－ax－2lnx.(1)若f′(2)＝0，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．.....解：(1)∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(2)＝0，且f′(x)＝a＋ax2－2x，∴a＋a4－1＝0，∴a＝45.3分∴f′(x)＝45＋45x2－2x＝25x2(2x2－5x＋2)，由f′(x)＞0结合x＞0，得0＜x＜12或x＞2，∴f(x)的递增区间为(0，12]和[2，＋∞)，递减区间为(12，2).6分(2)若f(x)在定义域上是增函数，则f′(x)≥0对x＞0恒成立，8分∵f′(x)＝a＋ax2－2x＝ax2－2x＋ax2，∴需x＞0时ax2－2x＋a≥0恒成立10分化为a≥2xx2＋1对x＞0恒成立，∵2xx2＋1＝2x＋1x≤1，当且仅当x＝1时取等号．∴a≥1，即a∈[1，＋∞).12分4.已知函数f(x)＝3xa－2x2＋lnx，其中a为常数．(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围．解：(1)若a＝1时，f(x)＝3x－2x2＋lnx，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－4x＋3＝－4x2＋3x＋1x＝(41)(1)xxx(x0)．当f′(x)0，x∈(0,1)时，函数f(x)＝3x－2x2＋lnx单调递增．当f′(x)0，x∈(1，＋∞)时，函数f(x)＝3x－2x2＋lnx单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)f′(x)＝3a－4x＋1x，若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，f′(x)＝3a－4x＋1x≥0或f′(x)＝3a－4x＋1x≤0，.....即3a－4x＋1x≥0或3a－4x＋1x≤0在[1,2]上恒成立．即3a≥4x－1x或3a≤4x－1x.令h(x)＝4x－1x，因为函数h(x)在[1,2]上单调递增，所以3a≥h(2)或3a≤h(1)，即3a≥152或3a≤3，解得a0或0a≤25或a≥1.题型三：利用导数解决不等式例：定义在R上的函数()fx的导函数为'()fx,已知(1)fx是偶函数且(1)'()0xfx.若12xx,且122xx,则1()fx与2()fx的大小关系是A.12()()fxfxB.12()()fxfxC.12()()fxfxD.不确定解析：由(1)'()0xfx可知,当1x时,'()0fx函数递减.当1x时,'()0fx函数递增.因为函数(1)fx是偶函数,所以(1)(1)fxfx,()(2)fxfx,即函数的对称轴为1x.所以若121xx,则12()()fxfx.若11x,则必有22x,则2121xx,此时由21()(2)fxfx,即211()(2)()fxfxfx,综上12()()fxfx,选C.变式训练：1.函数)(xf在定义域R内可导，若)1()1(xfxf，且当)1,(x时，0)()1(xfx，设)0(fa，)21(fb，)3(fc，则（D）A．cbaB．acbC．abcD．bac2.已知函数()fx对定义域R内的任意x都有()fx=(4)fx,且当2x时其导函数()fx满足()2(),xfxfx若24a则A.2(2)(3)(log)afffaB.2(3)(log)(2)affafC.2(log)(3)(2)afaffD.2(log)(2)(3)afaff解：由()fx=(4)fx,可知函数关于2x对称.由()2(),xfxfx得(2)()0xfx,所以当2x时,()0fx,函数递增,所以当2x时,函数递减.当.....24a,21log2a,24222a,即4216a.所以22(log)(4log)fafa,所以224log3a,即224log32aa,所以2(4log)(3)(2)afaff,即2(log)(3)(2)afaff,选C.3.已知函数2()=-fxxcosx，则(0.6),(0),(-0.5)fff的大小关系是A、(0)(0.6)(-0.5)fffB、(0)(-0.5)(0.6)fffC、(0.6)(-0.5)(0)fffD、(-0.5)(0)(0.6)fff解：因为函数2()=fxxcosx为偶函数，所以(0.5)(0.5)ff，()=2f'xxsinx，当02x时，()=20f'xxsinx，所以函数在02x递增，所以有(0)(0.5)(0.6)fff，即(0)(0.5)(0.6)fff，选B.4