直线电机本体建模

基于Simulink的直线电机本体建模电磁发射课题组2015年10月29日1直线感应电动机的等效电路直线电机在结构上可看作是沿径向剖开并将圆周展为直线的旋转电机，如图1所示。直线感应电动机的稳态特性近似计算方法基本可以沿用旋转感应电动机的等效电路[1]。图1旋转电机演变为直线电机示意图对于旋转异步电机而言，与电机绕组交链的磁通主要有两类：一类是穿过气隙的相间互感磁通；另一类是只与一相绕组交链而不穿过气隙的漏磁通，前者是主要的。定子各相漏磁通所对应的电感称作定子漏感lsL，由于绕组的对称性，各相漏感值均相等。同样，转子各相漏磁通则对应于转子漏感lrL。对于每一相绕组来说，它所交链的磁通是互感磁通和漏感磁通之和，因此，定子各相自感为：AABBCCmslsLLLLL（1）转子各相自感为：aabbccmrlrmslrLLLLLLL（2）两相绕组之间只有互感，互感又分为两类：1）定子三相彼此之间和转子三相彼此之间位置都是固定的，故互感为常值；2）定子任一相与转子任一相之间的位置是变化的，互感是角位移的函数。由于三相绕组轴线彼此在空间的相位差为120，因此互感为：1cos120cos1202msmsmsLLL（3）于是：12ABBCCABACBACmsLLLLLLL（4）1122abbccabacbacmrmsLLLLLLLL（5）定转子绕组间的互感由于相互间的位置的变化，为：cosAaaABbbBcCCcmsLLLLLLL（6）cos120AbbABccBaCCamsLLLLLLL（7）cos120AccABaaBbCCbmsLLLLLLL（8）以上是针对旋转异步电机的参数的推到过程，而对于直线电机，文献[3]中作者给出了圆筒形直线感应电动机的等效电路，如所示：图2圆筒形直线电机的等效电路图2中，sR和sX分别代表初级绕组的电阻和漏抗；mR代表励磁电阻；mX代表励磁电抗；'20r代表次级表面电阻；'20x代表次级表面电抗；edR代表边端效应影响纵向边电功率产生的损耗折算成的等效电阻；'rR代表在次级铜层中的折算的电阻值。在该文献[3]中次级使用的是导电层和导磁层所构成的复合材料。至于图2中的相关参数的计算过程，在该文献中都有详细的说明，不再赘述。文献[1]中给出了计及边端效应的等效电路，如所示：图3计及边端效应的等效电路图3中，0b为励磁电纳（）；1r为初级绕组电阻；1x为初级绕组漏电抗；'2r为次级导体电阻折算到初级的换算值，eR为边端效应消耗功率的等效电阻折算到初级的换算值。2直线感应电机的数学模型（1）电压方程参看海军工程大学鲁军勇在文献[4]中给出的电压方程，即：00dssdsdseqsdssdsdseqsrdrdreqrrqrqredrvRiDVvRiDVRiDVVRiDVV（9）式中：sR为通电段定子绕组电阻；rR为通电段定子绕组电阻；eV为同步速度，V为动子实际速度；D为微分算子；。注释：对上式进行简要的推导：利用三相静止坐标系到两相任意旋转坐标系间的转换矩阵32srC可将三相静止坐标系下的定子电压方程转换到任意旋转坐标系dq0坐标系下，即：13/23/23/23/200d00d0000dd00dd00AsAABsBBCsCCAsAdsdssrBsrsBsrsrqsqsCsCdsuRiuRituRiuRiCuCRiCCttuRiuu11110d0ddsdsdssqsqsqsqsdssdsdsqsqssqsqsdsiRituRiDuRiD（10）对于转子电压方程的推导过程类似，只是转子坐标系转换矩阵与定子坐标系的转换矩阵不一样，即：3222coscos()cos()33222sinsin()sin()333111222rrrsrrrrC（11）利用该转换矩阵将转子电压方程由三相静止坐标系转换到两相任意旋转坐标系下，即：13/23/23/23/200d00d0000dd00dd00araabrbbcrccaradrdrsrbsrrbsrsrqrqrcrcdruRiuRituRiuRiCuCRiCCttuRiuu0d0ddrdrdrsrqrqrqrqrsdrrdrdrsqrqrrqrqrsdriRituRiDuRiD（12）综上，将电压方程归结为：-（13）考虑角速度与速度间的关系，即：RvvvR（14）将式（14）带入到式（13）中可得：00dssdsdseqsqssqsqsedsrdrdreqrrqrqredruRiDVuRiDVRiDVVRiDVV（15）注意：式（13）中的1是电角速度，1s中的为次级折算的旋转角速度（机械量），折算关系是：v，而式（15）中的速度eV是同步速度（定子磁场的速度），V是动子实际的运动速度（机械运动速度）。（2）磁链方程鲁军勇在文献[4]中给出的直线电机的磁链方程为：11dslsumdsmdrqslsumqsmqrdrmdslrmdrqrmqslrmqrLLLiLiLLLiLiLiLLiLiLLi（16）（3）电磁推力方程文献[4]中给出的直线电机电磁推力方程为：32medrqsqrdsrLFiiL（17）注释：对上式（17）进行简要的推导：从电磁功率的角度入手，则：ereemeemeeppmrpmFvPTTTPFnnvn（18）因此，电磁推力与电磁转矩的关系为：eepTFn（19）而我们知道对于旋转异步电机而言，其电磁转矩的表达式为：()epmsrsrTnLiiii（20）结合磁链方程将式（20）中的转子电流分量消掉，则：rmsrrrmsrrrmsrrrmsrriLiiLLiLiLiLiLiiL（21）将式（21）带入到式（20）中可得：()epmsqrdsdrqrqmsqrdmsdpmsqsdrrmpsqrdsdrqremesqrdsdrqprTnLiiiiLiLinLiiLLLniiLTLFiinL（22）疑问：式（17）中的系数如何理解？？？？？？？？个人认为应该是转换矩阵的不同带来的这个系数，因为在上面的分析中采用的都是恒功率转换矩阵，而在鲁军勇的文献中所使用的转换矩阵是恒幅值转换矩阵，下面我们验证这种猜测：由文献[7]可知恒功率转换矩阵32srC和132srC分别为：32coscos120cos1202sinsin120sin1203111222srC（23）1321cossin221cos120sin120321cos120sin1202srC（24）恒幅值转换矩阵为：32coscos120cos1202sinsin120sin1203111222srC（25）132cossin1cos120sin1201cos120sin1201srC（26）仍然借助旋转异步电机的电磁转矩来推导电磁推力，将式（25）和（26）带入到文献[7]中给出的电磁转矩表达式中，即：[sinsin(120)sin(120)]epmsAaBbCcAbBcCaAcBaCbTnLiiiiiiiiiiiiiiiiii（27）利用恒幅值转换矩阵将ABC坐标系上的定、转子电流转换到dq0坐标系，即：1111110cossin1cos120sin1201cos120sin1201AsdBsqCsiiiiii0cossin1cos120sin1201cos120sin1201arrrdbrrrqcrrriiiiii由于推导过程相当复杂，但是我们发现在文献[7]中作者指出：在化简过程中的零轴分量完全抵消了，所以对比两种情况的转换矩阵，可做如下的推导：当使用恒功率转换矩阵时：[sinsin(120)sin(120)]23epmsAaBbCcAbBcCaAcBaCbpmsTnLiiiiiiiiiiiiiiiiiinLK（28）当使用恒幅值转换矩阵时：[sinsin(120)sin(120)]epmsAaBbCcAbBcCaAcBaCbpmsTnLiiiiiiiiiiiiiiiiiinLK（29）因此，采用恒幅值转换矩阵运算时的电磁转矩为采用恒功率转换矩阵运算时电磁转矩的1.5倍，即3()2epmsqrdsdrqTnLiiii。将其带入到式（19）中可得电磁推力为：33()()22ememsqrdsdrqsqrdsdrqprTLFLiiiiiinL（30）（4）运动方程文献[4]中给出的直线电机在发射阶段的运动方程为：2edvMmFBvMmgdt（31）式中：M为负载质量；m为动子本体质量；eF为电磁推力；B为风摩系数；为滑动摩擦系数。注释：个人认为如果按照式（23）来编写状态方程时，较难列写出速度的状态方程，因为我们知道状态方程的形式为：xAxBu，考虑是否能将运动方程简化为这种容易列写状态方程的形式，为此，参看文献[5][6]中给出的运动方程的形式，即：ddeLvvMmFFBvt（32）式中：LF—负载阻力；v—机械运动速度；vB—与速度有关的阻尼系数；将电磁推力的表达式带入到式（32）中，得：ddvmLdrqsqrdsrBLvFviitMLMM总总总（33）文献[6]中作者将粘滞阻尼系数取：0.2vBNsm。3状态方程推导状态方程是指刻画系统输入和状态关系的表达式。状态向量所满足的向量常微分方程称为控制系统的状态方程，状态方程是控制系统数学模型的重要组成部分。对于线性系统而言，我们知道其状态方程的形式为：xAtxBtuyCtxDtu（33）状态变量的选取：直线电机作为异步电机的一种，同样具有4阶电压方程和1阶运动方程，因此其状态方程也应该是5阶的，因此必须选取5个状态变量[7]。在旋转异步电机中可选的变量共有