中考专题-方差与频率分布

教学内容：方差与频率分布【重点难点提示】重点：方差的概念及其计算，频率分布的概念及其获得的方法。难点：方差的概念和列频率分布表。考点：考查的知识点是方差、标准差及频数、频率的意义及其求法；列频率分布表，画频率分布直方图，重视考查基础知识、基础技能、基本方法，分值一般在2~7分左右，近年来分值有增多的趋势。【经典范例引路】例1（2002黄冈市中考题）某班同学参加公民道德知识竞赛，将竞赛所得成绩（得分取整数）进行整理后分成五组，并绘制成频率分布直方图（如图），请结合直方图提供的信息，解答下列问题：（1）该班共有多少名学生？（2）60.5~70.5这一分数段的频数、频率分别是多少？（3）这次竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内？解（1）人数=6+8+10+18+16+2=60（人）（2）频数是18，频率=6018=0.3（人）（3）平均成绩=x=60295168518751065855645=71（分）例2在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日。评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图如右图，已知从左至右各长方形的高的比是2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：（1）本次活动中共有多少件作品参加评比？（2）哪组上交的作品数量最多？有多少件？（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件和2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？解（1）1464324=204=51，12÷51=60（件），答：本次活动共60件作品参加评比；（2）60×206=18（件）答：第四组上交作品数量最多，有18件；（3）第四组获奖率为：1810=95，第六组获奖率为32=96答：第六组获奖率较高。【解题技巧点拨】样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或标准差越大，样本数据波动就越大；求样本方差的方法有两个：①设n个数据x1,x2…xn的平均数为x，则其方差)(12222212xnxxxnSx=n1[(x1－x)2+(x2－x)2+…(xn－x)2]②S2=n1[(x12+x22+…+xn2)－nx2]【同步达纲练习】一、填空题1.数据－3，－2，0，2，3的方差是。2.数据2，3，x,5,10的平均数为4，则标准差为。3.甲、乙两人比赛飞镖，两人所得平均环数相同，其中甲所得环数最大值与最小值的差为5，乙所得环数如下：0，1，5，9，10那么成绩较为稳定的是。4.在n个数中，如果其中最大的数与它们的平均数相等，则这几个数的标准差等于。5.已知样本x1,x2…xn的方差为2，则样本3x1+2,3x2+2…，3xn+2的方差为。6.在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，已知中间一个长方形面积等于其他8个长方形面积的31，又已知样本容量为100，则中间一组的频数是。7.已知样本方差S2=201[(x12+x22+…+x202)－80]，则样本平均数为。8.为了了解某中学初三年级250名学生开学考试的数学成绩，从中抽取了50名学生的成绩进行分析，求得x样本=94.5，表1是50名学生数学成绩的频率分布表。分组频数累计频数频率60.5~70.5正3a70.8~80.5正一60.1280.5~90.5正正90.1890.5~100.5正正正下170.34100.5~110.5正正b0.2110.5~120.5正50.1会计501根据题中给出的条件回答下列问题：（1）在这次抽样分析的过程中，样本是；（2）频率分布表中的数据a=,b=;（3）估计该校初三实欠升学考试的数学平均成绩为分。（4）在这次升学考试中，该校初三数学成绩在90.5~100.5范围内的人数约为人。二、选择题9.下面4种说法①通常用样本平均数去估计总体平均数②如果样本方差越大，可以估计总体的波动就越大，③一般情况下，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布；④样本容量越大，对总体的估计越精确，其中正确的有（）句A.1B.2C.3D.410.下列说法中正确的是（）A.3，4，3，5，5，2这组数据的众数是3B.为了解参加运动会的运动员的年龄情况，从中抽了100名运动员的年龄，在这里100名运动员是抽取的一个样本C.如果数据x1,x2…xn的平均数是x,那（x1－x）+（x2－x）+…（xn－x）=0D.一组表据的方差是S2，将这组数据中的每个数据都乘以3，所得的一组新数据的方差是3S211.要了解全市初三学生身高在某一范围内的学生所占比的大小，需要知道（）A.平均数B.方差C.众数D.频率分布12.在某次体育活动中，统计甲、乙两班学生每分钟跳绳的成绩（单位：次）如下表：班级参加人数平均次数中位数方差甲班55135149190乙班55135151110（1）甲班学生的平均成绩高于乙班学生的平均成绩；（2）甲班学生的成绩波动比乙班学生的成绩波动大；（3）甲班学生成绩的人数不会多于乙班学生成绩优秀的人数（跳绳次数≥150次为优秀），则正确的命题有（）个A.1B.2C.3D.013.为了考察某种大麦穗长的分布情况，在一块试验地里抽取了100个穗，量得它们的长度（单位：厘米之后），将所得数据以0.3厘米为组距，分成如下12个组：3.95~4.25,4.25~4.55,4.55~4.85,…,6.95~7.25,7.25~7.55，通过分析计算，最后画出的频率分布直方图如图，由图可知（）A.长度在4.45厘米~5.75厘米范围内的麦穗所占的比最大B.长度在5.15厘米~5.45厘米范围内的麦穗所占的比大于25%C.长度在5.75厘米~6.05厘米范围内的麦穗所占的比最大D.长度在5.45厘米~5.75厘米范围内的麦穗比长度在6.35厘米~6.65厘米范围内麦穗少14.在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的()A.频数B.频率C.组数D.组距三、解答题15.样本4，2，x,1的方差S2=45，求x.16.甲乙二人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示。（1）分别求出两人得分的平均数与方差；（2）根据图和上面算得的结果，对两人训练成绩作出评价。17.为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如下，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1,0.3,0.4，第一小组的频数是5。（1）求第四小组的频率；（2）问参加这次测试的学生数是多少？（3）问在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在四个小组的哪个小组内，并说明理由。18.对某班学生一次数学测验成绩进行统计分析，各分数段的人数如图所示（分数取整数，请观察图形并回答：（1）该班有多少名学生？（2）89.5~99.5这一组的频数，频率分别是多少？（3）估算该班这次测验的平均成绩。【创新思维训练】19.为了解某地初中三年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样本（60名男生的身高），分组情况如下：分组147.5~155.5155.5~163.5163.5~171.5171.5~179.5频数62127m频率a0.1（1）求出表中a、m的值；（2）画出频率分布直方图。20.某地区有初三男生175人，为了了解这一地区初三男学生的身高情况，从中随机抽取50名，取得他们的身高（单位：cm）数据后，下面是数据整理与计算的一部分。数据整理与计算x样本=164(cm)频率分布表分组频数累计频数频率147.5~151.510.02151.5~155.520.04155.5~159.540.08159.5~163.515160.32167.5~171.550.10171.5~175.50.08175.5~179.530.06合计50（1）在这个问题中总体和样本各指什么？（2）填写频率分布表中未完成的部分；（3）根据数据整理与计算回答下列问题：①该校初中三年级男学生身高在155.5~159.5cm的范围内的人数约为多少？占多大比例？②估计该校初中三年级男学生的平均身高。参考答案【同步达纲练习】1.5262.52903.甲4.05.186.257.28.(1)50名学生的数学成绩（2）a=0.6b=10(3)94.5(4)859.D10.C11.D12.B13.C14.B15.x=316.(1)x甲=13（分）x乙=13分S甲2=4S乙2=0.56（2）甲的成绩进步快，乙的成绩较稳定17.解（1）因为各小组的频率之和等于1，所以第四小组的频率为1－（0.1+0.3+0.4）=0.2;(2)因为第一小组的频率为0.1频数为5，所以参加这次测试的学生数为1.05=50（人）（3）这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第三小组内。18.（1）50名（2）12，0.24(3)80分19.解（1）第一小组的频率=606=0.1，第二小组的频率=6021=0.35,m=6,a=0.45(2)直方图略20.(1)答：在这个问题中，总体是指某中学初中三年级175名男生身高的全体，所抽取的50名男学生的身高是总体的一个样本；（2）第一列为163.5~167.5，第三列为4，第四列为0.30,1.00;(3)答：①该校初中三年级男生身高在155.5(cm)~159.5(cm)范围内的人数约为14人，占8%；②根据样本平均数估计该校初中三年级男学生的平均身高约为164cm。