中考北师大版实数专题复习题

共10页第1页中考实数专题复习知识结构图2.一．中考目标要求了解有理数、无理数、实数的概念；会比较实数的大小，知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数；理解相反数和绝对值的概念及意义.进一步，对上述知识理解程度的评价既可以用纯粹数学语言、符号的方式呈现试题，也可以建立在应用知识解决问题的基础之上，即将考查的知识、方法融于不同的情境之中，通过解决问题而考查学生对相应知识、方法的理解情况.了解乘方与开方的概念，并理解这两种运算之间的关系.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解整数指数幂的意义和基本性质．二．中考知识点（一）实数的有关概念1．数轴（七年级上册P43）（1）定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，缺一不可．（2）任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，正数位于原点的右侧，负数位于原点的左侧，零位于原点处．数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；正数大于0，负数小于0，1．实数实数的分类有理数整数分数正整数零负整数自然数有限小数或无限循环小数正分数负分数无理数正无理数负无理数无限不循环小数实数的意义数轴，相反数，绝对值，倒数，非负数N次方根近似数和有效数字实数的运算实数的大小比较加，减，乘，除，乘方，开方共10页第2页正数大于负数．练习：1、判断下图中所画的数轴是否正确？如不正确，指出错在哪里？2、最大的负整数是__________；最小的正整数是__________．2.相反数（七年级上册P44）（1）定义：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中的的一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．（2）相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等．（3）相反数的性质：①任何数都有相反数，并且只有一个相反数；②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，特别的，0的相反数是0；③互为相反数的两个数之和为0，反之，和为0的两个数互为相反数.（4）相反数的表示法.一般地对于任意一个数a，它的相反数为−𝑎，这里的a表示任意的数，可以是正数、负数、也可以是0.（5）相反数的求法：★①互为相反数的两个数之和等于0.若a、b互为相反数⟺a+b=0或𝑎=−𝑏★②求一个数的相反数只需在这个数的前面加上一个负号就可以了.练习：1、相反数是它本身的数是（）A.1B.−1C.0D.不存在2、若上升6米记作＋6米，那么－8米表示．3、的相反数是4，0得相反数是，－（－4）的相反数是．3.绝对值（七年级上册P48）在数轴上，一个数所对应的点a与原点的距离叫做数a的绝对值，记作｜a｜.正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.两个负数比较大小，绝对值大的反而小．用式子表示为：𝑎(𝑎0)｜a｜=0(𝑎=0)−𝑎(𝑎0)重点提示①无论是绝对值的几何意义还是绝对值的代数意义都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性．也就是说任何一个实数的绝对值都是非负数，即对任意实数𝑎，都有｜𝑎｜≥0.②当𝑎0时，−𝑎0.即当𝑎0时｜𝑎｜=−𝑎也是一个正数．★几何定义：①数𝑎的绝对值的几何意义是实数𝑎在数轴上所对应的点到原点的距离；◆数轴上点A和点B所对应的实数分别为𝒎和n，则A与B之间的距离为|𝒎−𝒏|.②||0a,符号“││”是“非负数”的标志；③数𝑎的绝对值只有一个；④处理任何类型的题目，只要其中出现绝对值号，其关键一步是去掉绝对值号．★有关性质：①互为相反数的两个数的绝对值相等，即|𝑎|=|−𝑎|;②任何数的绝对值为非负数|𝑎|≥0;共10页第3页③任何数的绝对值都不小于它本身|𝑎|≥𝑎；④|𝑎|+|𝑏|=0⟺𝑎=0且𝑏=0.练习：1、下列各式中，等号成立的是（）A、－6=6B、(6)=－6C、－112=－112D、3.14=－3.142、在数轴上表示的数8与－2这两个点之间的距离是（）A、6B、10C、−10D、−63、一个有理数的绝对值等于其本身，这个数是（）A、正数B、非负数C、零D、负数4、绝对值最小的数是，－313的绝对值是．4.倒数（七年级上册P75）(1)定义：乘积为1的两个有理数叫作互为倒数.𝑎的倒数是1a（𝑎≠0）.(2)乘积为1的两个数互为倒数.𝑎𝑏=1(3)乘积为-1的两个数互为负倒数.𝑎𝑏=−1(4)性质：①积为1：11aa②1a中，0a③01a时，11a；1a时，11a④1aa，则1a.练习：如果a的倒数是−1，那么a2009等于（）A．1B．−1C．2009D．20095.科学记数法（七年级上册P201）一般地,一个大于10的数可以表示成𝑎×10𝑛的形式,其中1≤𝑎10，𝑛是正整数，这种记数方法叫做科学记数法．6.近似数和有效数字（七年级下册P93）(1)接近实际数值而不等于实际数值的数叫做近似数.如313≈3.3,这里313是一个准确数,而3.3是一个近似数.注意①一般地,一个近似数,四舍五入到某一位,就说这个近似数精确到那一位.这时应十分注意数字是否具有单位.例如:用四舍五入得到的近似数6.7万,由于单位是万,所以是精确到千位而不是万位.②用四舍五入法取近似数的时候要注意精确度的不同.例如:由四舍五入得来的1.6和1.60不一样,不能随便把后面的0去掉,因为他们的精确度不同,1.60是精确到百分位,1.6是精确到十分位.近似数与准确值的接近程度可以用精确来表示．(2)对于一个近似数,从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止,所有的数字都叫做这个数的有效数字.重点提示：①取一个数精确到某一位的近似数时，应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入，而之后的数不予考虑；②用科学计数法表示的近似数，乘号前面的数（即𝑎）的有效数字即为该近似数的有效数字；而这个近似数精确到哪一位，应将用科学记数法表示的数还原成原来的数，再看最后一个有效数字处于哪一个数位上．如P94例4我国人口总数为1295330000人，精确到千万位，就得到近似数1300000000，用科学记数法记作1.30×109，这个数有3个有效数字，分别是1，3，0.又如P962.(2)我国的国土面积为9.6×106千米2，精确到了10万千米2，有2个有效数字．7．平方根（八年级上册P40）（1）平方根的概念：一般地，如果一个数𝑥的平方等于𝑎，即𝑥2=𝑎，那么这个数𝑥叫做𝑎的平方根（也叫做二次方根）．共10页第4页（2）平方根的性质：①一个正数𝑎有两个平方根，一个是𝑎的算术平方根“√𝑎”，另一个是“−√𝑎”,它们互为相反数.这两个平方根合起来可以记作“±√𝑎”，读作“正、负根号𝑎”；②0只有一个平方根，它是0本身；③负数没有平方根；④(√𝑎)2=𝑎;√𝑎2=|𝑎|={𝑎(𝑎≥0)−𝑎(𝑎0)⑤被开方数是非负数，即𝑎≥0；算术平方根√𝑎本身是非负数，即√𝑎≥0.（3）一般地，如果一个正数𝑥的平方等于𝑎，即𝑥2=𝑎,那么这个正数𝑥叫做𝑎的算术平方根,记为“√𝑎”，读作“根号𝑎”(P38).（4）8.立方根（八年级上册P44）（1）立方根的概念：一般地，如果一个数𝑥的立方根等于𝑎，即𝑥3=𝑎，那么这个数𝑥就叫做𝑎的立方根（也叫做三次方根）.每个数𝑎都只有一个立方根，记作“√𝑎3”，读作“三次根号𝑎”.（2）立方根的性质：①正数的立方根是正数；②0的立方根是0本身；③负数的立方根是负数；④√−𝑎3=−√𝑎3；(√𝑎3)3=√𝑎33=𝑎（3）9.实数（八年级上册P54）有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数叫无理数无理数的特征：①圆周率及一些含有的数；②有一定的规律，但不循环的无限小数；③开不尽方的数(注意:带根号的数不一定是无理数)．非负数：正实数和零统称非负数实数：有理数和无理数统称为实数.注意：①在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样；②每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.即实数和数轴上的点是一一对应的.★实数的性质：⑴①√𝑎∙√𝑏=√𝑎𝑏(𝑎≥0，𝑏≥0)；②√𝑎√𝑏=√𝑎𝑏(𝑎≥0，𝑏0)；⑵实数中非负数的四种形式：①|𝑎|≥0;②𝑎2≥0;③√𝑎≥0(𝑎≥0);④√𝑎中,𝑎≥0.⑶非负数有最小值0；⑷有限个非负数之和仍然是非负数；⑸若几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.10.完全平方数：如果一个正数恰好是另一个有理数的平方，这个正数就叫做完全平方数.如：62=36，36是一个完全平方数；342=1156，1156是一个完全平方数.被开方数三次根号根指数，不能省略√𝑎3被开方数二次根号根指数，通常省略不写√𝑎2共10页第5页（二）实数的大小比较1．在数轴上的任意两个点，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．𝑎𝑏2．正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数，绝对值大的反而小．设𝑎、𝑏是两负实数，则baba3．求差法：设𝑎、𝑏为实数：若①𝑎−𝑏0⟺𝑎𝑏；②𝑎−𝑏=0⟺𝑎=𝑏；③𝑎−𝑏0⟺𝑎𝑏．4．求商法：设𝑎、𝑏是两个正实数，;1;1;1babababababa5．倒数法：a1b1﹙𝑎0,𝑏0﹚则𝑎𝑏6．平方法：①利用平方转化为有理数：如果𝑎0，𝑏0，则𝑎2𝑏2⟺𝑎𝑏⟺√𝑎√𝑏．②如果𝑎0，𝑏0，则baba227．对于实数𝑎，𝑏，𝑐，若𝑎𝑏，𝑏𝑐，则𝑎𝑐．（三）实数的运算1.加法(七年级上册P55)①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③互为相反的两个数相加得0；④一个数同0相加，仍得这个数．2.减法(七年级上册P62)减去一个数，等于加上这个数的相反数．3.乘法(七年级上册P75)两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0.①同号相乘得正若𝑎0,𝑏0,则𝑎𝑏=|𝑎|×|𝑏|若𝑎0,𝑏0，则𝑎𝑏=|𝑎|×|𝑏|②异号相乘得负若𝑎0,𝑏0,则𝑎𝑏=−|𝑎|×|𝑏|若𝑎0,𝑏0,则𝑎𝑏=−|𝑎|×|𝑏|③数与0相乘得0𝑎为任何有理数，则𝑎×0=04.除法(七年级上册P80)①两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；②0除以任何一个不等于0的数都得0；③除以一个数，等于乘上这个数的倒数．5.乘方与开方(七年级上册P83)◆n个相同的因数A相乘，即个naaaa，记作na，这种求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，𝑎叫做底数，𝑛叫做指数，𝑎𝑛读a的n次幂（或a的n次方）．共10页第6页◆求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数．(八年级上册P41)◆求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数.(八年级上册P45)☆正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数(七年级上册P84)☆零指数与负指数𝑎0=1，𝑎−𝑝=1𝑎𝑝(𝑎≠0)．(七年级下册P23)☆正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．6.实数的六种运算关系加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算；乘方与开方互为逆运算．7.实数运算顺序加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．★有理数混合运算的运算顺序规定如下：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算，按照从左至右的顺序进行；③如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．★加括号和去括号时