中考总复习一实数

中考总复习一：实数一、考试目标：了解有理数、无理数、实数的概念；会比较实数的大小，知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数；理解相反数和绝对值的概念及意义。进一步，对上述知识理解程度的评价既可以用纯粹数学语言、符号的方式呈现试题，也可以建立在应用知识解决问题的基础之上，即将考查的知识、方法融于不同的情境之中，通过解决问题而考查学生对相应知识、方法的理解情况。了解乘方与开方的概念，并理解这两种运算之间的关系。了解平方根、算术平方根、立方根、二次根式的概念，了解整数指数幂的意义和基本性质。二、具体目标：1.有理数(1)理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。(2)借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）。(3)理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）。(4)理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。(5)能运用有理数的运算解决简单的问题。(6)能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。2.实数(1)了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。(2)了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。(3)了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点—一对应。(4)能用有理数估计一个无理数的大致范围。(5)了解近似数与有效数字的概念。在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值。(6)了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）。三、知识梳理：1．实数的分类有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如（m，n是整数n≠0）”的数叫有理数．无理数：无限不循环小数叫无理数．实数：有理数和无理数统称为实数．2．实数的相关概念(1)相反数1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0.2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数．3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.(2)绝对值1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a是实数，则|a|≥0．(3)倒数1)实数的倒数是；0没有倒数；2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数.(4)平方根1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a（a≥0）的平方根记作．2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a（a≥0）的平方根记作．(5)立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根仍是零．(6)二次根式：1)式子叫做二次根式．是一个非负数.2)3)最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.4)二次根式的运算：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.3．实数与数轴规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．4．实数大小的比较(1)对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大。(2)正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小。(3)对于实数a、b，若a-b0ab；a-b=0a=b；a-b0ab。(4)对于实数a，b，c，若ab，bc，则ac.(5)无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果ab0，a2b2ab；或利用倒数转化：如比较与.5．实数的运算(1)加同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)．(2)减减去一个数等于加上这个数的相反数．(3)乘几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac．(4)除除以一个数，等于乘上这个数的倒数．两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．(5)乘方与开方1)an所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．3)零指数与负指数(6)实数的运算顺序加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．6．有效数字和科学记数法一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．把一个数用a×10n的形式记数的方法叫科学记数法．（其中n是整数）四、典型例题剖析：理解实数的有关概念例1.（1）a的相反数是-，则a的倒数是_______．（2）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示:则化简=______．（3）（泉州市）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩，用科学记数法表示为约____________．【分析】（1）注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个数要改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0，互为倒数的两个数乘积等于1来计算.（2）此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的数的性质符号.由图知：（3）考查科学记数法概念.答案：（1）5（2）-a-b（3）1.02×107亩.【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解．掌握实数的分类例2.下列实数、sin60°、、、3.14159、-、、中无理数有（）个A．1B．2C．3D．4答案：C.无理数有sin60°、、.【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．快速准确地进行实数运算例3.计算：计算：．【考点】实数的混合运算【分析】该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂，正整数指数幂．只要准确把握各自的意义，就能正确的进行运算，其结果为1．【易错点】忘记负整数指数（0指数）幂的意义，而使例4.比较下列每组数的大小：1）和2）、3）与4）a与（a≠0）【分析】1）有理数比较大小：两个负数，绝对值大的反而小。因此比较和的大小，将其通分，转化成同分母分数比较大小，，，，所以2）无理数比较大小，往往通过平方转化以后进行比较，因为所以；3）但有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较，如，，而与可以很容易进行比较得到，所以；4）这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况。当a-1或Oa1时，a；当-1a0或a1时，a；我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把的值看成是关于a的反比例函数，把a的值看成是关于a的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小。例5.已知：x，y是实数，，若axy-3x=y，则实数a的值是_______。【分析】此题考查的是非负数的性质。即两个非负数相加和为0，则这两个非负数必定同时是0∴，(y-3)2=0，∴x=，y=3又∵axy-3x=y，∴a=.能力提升例6．计算：【分析】近年来，为了突出考察学生创造思维的水平，中考命题时不仅考查运算的熟练，准确，更注重考查算理的运用和灵活处理运算问题的能力，使运算更加合理简便的能力、我们从复习数开始，就要加强含字母的式子变形技能的训练及能力的提高。解：设n=2001，则原式=（把n2+3n看作一个整体）==n2+3n+1=n(n+3)+1=2001×2004+1=4010005.例7.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值。【分析】近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目，这些问题素材的选择、文字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识，基本技能，更重点考察了创新意识和能力，还考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力。（1）由题意可知，图形满足勾股定理，（2）因为OA1=，OA2=，OA3=…，所以OA10=（3）S12+S22+S32+…+S102===【基础训练】1．1．下列语句：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数，其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．②④2．（长沙市）已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（）A．abB．ab0C．b-a0D．a+b03．（芜湖市）三峡工程是世界防洪效益最为显著的水利工程，它能有效控制长江上游洪水，增强长江中下游抗洪能力，据相关报道三峡水库的防洪库容22150000000m3，用科学计数法可记作（）A．221.5×108m3B．22.15×109m3C．2.215×1010m3D．2215×107m34．9的相反数的倒数是（）A．-9B．C．9D．-5．（武汉市）如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC约为（）（取1.732，结果保留3个有效数字）A．5.00米B．8.66米C．17.3米D．5.77米6．（常德市）下列计算正确的是（）A．B．C．24÷=4D．7．（南通市）一个篮球需要m元，买一个排球需要n元，则买3个篮球和5个排球共需要_________元．8．图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第四行有8个，……你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有______个苹果．【能力提升】9．计算：；10．若a、b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，求a2-b2+（cd）-1÷（1-2m+m2）的值．11．数a，b在数轴上的位置如图所示:化简.12．（临安市）已知：若符合前面式子的规律，则a+b=________．13．（江阴市）将正偶数按下表排列：第1列第2列第3列第4列第1行2第2行46第3行81012第4行14161820……根据上面的规律，则2006所在行、列分别是________．应用与探究14．（辽宁省）在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图（1）所示的几何图形．（1）请你利用这个几何图形求的值为_______．（2）请你利用图（2）再设计一个能求的值的几何图形．【答案】1．C2．A3．C4．D5．D6．D7．3m+5n8.29（512）9．10．1或11．-b.12．109（提示：规律，所以a=99，b=10，a+b=109）13．第45行第13列14．（1）（2）