中考总复习特殊三角形--知识讲解(提高)

中考总复习：特殊三角形—知识讲解（提高）【考纲要求】1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定．2.能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题．3.会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2．性质：(1)具有三角形的一切性质；(2)两底角相等(等边对等角)；(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)；(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°．要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条.3．判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．要点诠释：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形．考点二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．2．性质：(1)直角三角形中两锐角互余；(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：（1）直角三角形中，SRt△ABC=ch=ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；（2）圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形．3．判定：(1)两内角互余的三角形是直角三角形；(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形；(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边．【典型例题】类型一、等腰三角形1．六边形ABCDEF的每个内角都为120°,且AB=1，BC=9，CD=6，DE=8.求六边形ABCDEF的周长．【思路点拨】考虑到每个内角为120°,则每个外角均为60°,可通过构造等边三角形来求边长及面积．【答案与解析】延长BC、ED交于M，DE、AF交于N，FA、CB交于P．∵∠EDC=∠DCB=120°∴∠DCM=∠CDM=60°，∴△MDC为等边三角形∠M=60°，同理△BAP，△EFN均为等边三角形．∠M=∠N=60°∴△MNP为等边三角形，MD=MC=6，PB=PA=1，NE=NF=EF，MP=6+9+1=16=MN=NP，EF=NF=NE=MN-ME=16-（6+8）=2．FA=NP-NF-PA=16-1-2=13，∴周长为1+9+6+8+2+13=39．【总结升华】考点是多边形外角和内角的关系.举一反三：【变式】把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是________．【答案】.2．已知:如图,菱形ABCD中,E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．(1)求证:AE=AF．(2)若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．【思路点拨】菱形的定义和性质.【答案与解析】(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD,∠B=∠D，又∵BE=DF，∴≌．∴AE=AF．(2)连接AC,∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，∴AB=AC=AD，∵AB=BC=CD=DA,∴△ABC和△ACD都是等边三角形．∴,．∴．又∵AE=AF∴是等边三角形．【总结升华】此题涉及到三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质.举一反三：【高清课堂：等腰三角形与直角三角形例4】【变式】如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE.求证：CE=DE.【答案】延长BD到F，使DF＝BC，连接EF，∵等边△ABC，∴AB＝BC＝AC，∠B＝60．∵BF＝BD+DF，BE＝AB+AE，AE＝BD，BC＝DF，∴BF＝BE，∴等边△BEF，∴EF＝BE，∠F＝∠B，∴△BCE≌△FDE（SAS）．∴CE＝DE．类型二、直角三角形3．△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点．求证：(1)△ACE≌△BCD；(2)．【思路点拨】判定两个三角形全等时，首先要根据条件判断运用哪个判定定理.【答案与解析】(1)∵，∴，即．∵，∴△BCD≌△ACE．(2)∵，∴．∵△BCD≌△ACE，∴，∴．∴．【总结升华】该题涉及到的知识点有全等三角形的判定及勾股定理.4．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE，AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．【思路点拨】△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,为证明全等提供了等线段的条件.【答案与解析】猜测AE＝BD，AE⊥BD.理由如下：∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴AC＝CD，CE＝CB．∴△ACE≌△DCB（S.A.S.）．∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB．∵∠AFC＝∠DFH，∴∠DHF＝∠ACD＝90°，∴AE⊥BD．【总结升华】两条线段的关系包括数量关系和位置关系两种.举一反三：【变式】.以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn=________.【答案】.类型三、综合运用5.（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴ABPS△=12AB•PE，ACPS△=12AC•PF，ABCS△=12AB•CH．又∵ABPACPABCSSS△△△，∴12AB•PE+12AC•PF=12AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=________.【思路点拨】运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．【答案与解析】（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴ABPS△=12AB•PE，ACPS△=12AC•PF，ABCS△=12AB•CH，∵ABPS△=ACPS△+ABCS△，∴12AB•PE=12AC•PF+12AB•CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵ABCS△=12AB•CH，AB=AC，∴12×2CH•CH=49，∴CH=7．分两种情况：①P为底边BC上一点，如图①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH-PF=7-3=4；②P为BC延长线上的点时，如图②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中.6．在中，AC=BC，，点D为AC的中点．（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．【思路点拨】根据条件判断FH=FC,要证FH=FC一般就要证三角形全等.【答案与解析】（1）FH与FC的数量关系是：．延长交于点G，由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF．∴DG∥CB．∵点D为AC的中点，∴点G为AB的中点，且．∴DG为的中位线．∴．∵AC=BC，∴DC=DG．∴DC-DE=DG-DF．即EC=FG．∵∠EDF=90°，，∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°．∴∠1=∠2．∵与都是等腰直角三角形，∴∠DEF=∠DGA=45°．∴∠CEF=∠FGH=135°．∴△CEF≌△FGH．∴FH=FC．（2）FH与FC仍然相等．【总结升华】对于特殊三角形的判定及性质要记住并能灵活运用，注重积累解题思路和运用数学思想和方法解决问题的能力和培养.举一反三：【高清课堂：等腰三角形与直角三角形例7】【变式】如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=CDBC;②S⊿ABC+S⊿CDE≥S⊿ACE;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D.MEDCBA