中考数学专题39数学思想方法问题

学科教师辅导讲义年级：辅导科目：数学课时数：3课题数学思想方法问题教学目的教学内容一、【中考要求】1．利用建模思想准确选择方程、不等式、函数解决问题；2．利用分类讨论思想解决数学问题，确保结论不重复、不遗漏。3．利用转化思想准确在实际问题、数学问题间相互转化；4．利用数形结合思想解决数学问题。二、【考点知识梳理】数学思想方法是学习数学知识的精髓，是培养数学分析问题、解决问题能力提升的有效途径，在数学学习过程中，如果经常反思总结一些数学思想方法，能达到触类旁通的解题目的，而且能节省审题时间，因此，在中考冲刺阶段一定要多进行题后反思的环节，力争通过反思数学思想方法达到“做一题，会一类”的目的．初中数学思想主要有：①转化思想；②数形结合思想；③整体思想；④分类讨论思想；⑤函数与方程的思想；⑥统计思想；⑦特殊到一般的思想等．现就常用数学思想方法举例说明如下：1．转化思想数学中考题是千变万化的，而其中蕴含的数学思想方法是不变的，如新知识问题转化为旧知识问题，较复杂问题转化为简单问题等，都要用到转化的思想方法．2．数形结合思想数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决途径，或用数量关系研究几何图形的性质去解决几何图形的问题，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决的一种数学思想．在初中阶段涉及数形结合思想的内容有：数轴、函数、三角形、四边形、圆、列方程(组)解应用题等．数形结合思想方法的应用，可帮助我们理解题意，分清已知量未知量，理顺题中的逻辑关系．3．分类讨论思想分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类的原则是：(1)分类中的每一部分是相互独立的；(2)一次分类必须是同一个标准；(3)分类讨论应逐级进行．分类思想有利于学会完整地考虑问题，化整为零地解决问题．一般把握一个原则：遇到模棱两可的情况时往往采用分类讨论的思想．比如，遇到“等腰三角形、圆”等相关知识时常用分类讨论的思想．三、【中考典例精析】类型一转化思想(1)解方程：xx＋1＝2x3x＋3＋1.【点拨】解分式方程时，应去分母“转化”为整式方程再求解，最后注意验根．【解答】去分母，得3x＝2x＋3x＋3，整理，得－2x＝3，解得x＝－32.经检验，x＝－32是原方程的根．(2)已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4，求∠B的度数及AC的长．【点拨】解决梯形问题时，往往通过作辅助线“转化”为三角形、平行四边形、矩形等特殊图形去解决，常见辅助线有平移一腰、作高、平移对角线等．【解答】如图，分别作AF⊥BC，DG⊥BC，F、G是垂足．∴∠AFB＝∠DGC＝90°.∵AD//BC，∴四边形AFGD是矩形，∴AF＝DG.∵AB＝DC，∴Rt△AFB≌Rt△DGC，∴BF＝CG.∵AD＝2，BC＝4，∴BF＝1.在Rt△AFB中，∴cosB＝BFAB＝12，∴∠B＝60°.∵BF＝1，∴AF＝3.∵FC＝3，由勾股定理，得AC＝23.∴∠B＝60°，AC＝23.类型二数形结合思想求满足不等式组2x＋51，①3x－8≤10②的整数解．【点拨】解不等式(组)或求其特殊解时，要借助数轴求解，以防出现错解或漏解．【解答】解不等式①，得x－2.解不等式②，得x≤6.∴－2x≤6在数轴上表示不等式组的解集如下：∴不等式组的整数解是－1,0,1,2,3,4,5,6.类型三分类讨论的思想如图⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB＝3，则弦AB所对圆周角的度数为()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【点拨】注意一条弦所对圆周角的度数有两个，这两个圆周角相等或互补．【解答】连结OA、OB，过O作OC⊥AB于点C，在Rt△AOC中，OA＝1，由垂径定理得AC＝32，∴∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，因此弦AB所对优弧上的圆周角度数为60°，所对劣弧上的圆周角的度数为120°，故选D.四、【课堂练习】1．方程组2x－y＝3x＋y＝3的解是()A.x＝1y＝2B.x＝2y＝1C.x＝1y＝1D.x＝2y＝3解析：两式左右分别相加，得3x＝6(转化为一元一次方程)，解得x＝2，把x＝2代入②得y＝1，∴x＝2y＝1是原方程组的解，故选B.答案：B2．若点A(x1，y1)、B(x2，y2)在反比例函数y＝－3x的图象上，且x10x2，则y1、y2和0的大小关系是()A．y1y20B．y1y20C．y10y2D．y10y2解析：数形结合法可选C.答案：C3．已知⊙O的半径为13cm，弦AB//CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB、CD之间的距离为()A．17cmB．7cmC．12cmD．17cm或7cm解析：分类讨论的思想方法．如图，当AB、CD在圆心的同侧时，在Rt△OAE中，OE＝OA2－AE2＝132－122＝5(cm)．在Rt△OCF中，OF＝OC2－CF2＝132－52＝12(cm)．∴EF＝OF－OE＝12－5＝7(cm)当AB、CD在圆心的异侧时，同理可求出AB、CD之间的距离为17cm，故AB、CD之间的距离为7cm或17cm.答案：D4．在平面直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y＝－x2＋(k－1)x＋4的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且S△OAB＝6.(1)求点A与点B的坐标；(2)求此二次函数的解析式；(3)如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．解：(1)由解析式可知，点A的坐标为(0,4)．∵S△OAB＝12×BO×4＝6，∴BO＝3，∴点B的坐标为(－3,0)．(2)把B(－3,0)代入，得－(－3)2＋(k－1)×(－3)＋4＝0，解得k－1＝－53.∴所求二次函数的解析式为y＝－x2－53x＋4.(3)因为△ABP是等腰三角形，所以①当AB＝AP时，点P的坐标为(3,0)；②当AB＝BP时，点P的坐标为(2,0)或(－8,0)；③当AP＝BP时，设点P的坐标为(x,0)，根据题意得x2＋42＝|x＋3|，解得x＝76，∴点P的坐标为(76，0)．综上所述，点P的坐标为(3,0)，(2,0)，(－8,0)，(76，0)．5．阅读材料：为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1看做一个整体，然后设x2－1＝y……①，那么原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2－1＝1，∴x2＝2，∴x＝±2；当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±5，∴原方程的解为x1＝2，x2＝－2，x3＝5，x4＝－5.解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想．(2)请利用以上知识解方程x4－x2－6＝0.解：(1)换元(2)设x2＝y，那么原方程可化为y2－y－6＝0.解得y1＝3，y2＝－2.当y＝3时，x2＝3，∴x＝±3，当y＝－2时，x2＝－2不符合题意，舍去∴原方程的解为x1＝3，x2＝－3.五、【课后强化作业】一、选择题：1．（09青海）方程29180xx的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12B．12或15C．15D．不能确定2．已知圆A和圆B相切，两圆圆心距为8cm，圆A的半径为3cm，则圆B的半径是（）A．5cmB．11cmC．3cmD．5cm或11cm3．（10嘉兴）根据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是（）A．0.8元/支，2.6元/本B．0.8元/支，3.6元/本C．1.2元/支，2.6元/本D．1.2元/支，3.6元/本4．已知直角三角形的两直角边长分别为4cm、3cm，以其中一条直角边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的底面积一定是()A．9πcm2B．16πcm2C．9πcm2或25πcm2D．9πcm2或16πcm25.根据下列表格中二次函数2yaxbxc的自变量x与函数值y的对应值，判断方程20axbxc（0aabc，，，为常数）的一个解x的范围（）Ａ．66.17xＢ．6.176.18xＣ．6.186.19xＤ．6.196.20x6．已知函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列结论正确的是（）6.176.186.196.202yaxbxc0.030.010.020.04小红，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊？哦，…，我忘了！只记得先后买了两次，第一次买了5支笔和10本笔记本共花了42元钱，第二次买了10支笔和5本笔记本共花了30元钱。yxCBOA(第5题图)（第6题图）(第8题图)（第7题图）A．a＞0，c＞0B．a＜0，c＜0C．a＜0，c＞0D．a＞0，c＜07．（10益阳）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是()Ａ．B．C．D．8．(10绍兴)一辆汽车和一辆摩托车分别从A,B两地去同一城市,它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示.则下列结论错误．．的是()A.摩托车比汽车晚到1hB.A,B间20kmC.摩托车速45km/hD.汽车速60km/h二、填空题：9.直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y＝x2－x－6与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C.如果点M在y轴右侧的抛物线上，S△AMO＝23S△COB，那么点M的坐标是10．如图，两同心圆，大圆半径为３，小圆半径为１，则阴影部分面积为11．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线xky(x＞0)的图像经过点A，若S△BEC=8，则k等____．12．如图，在反比例函数2yx（0x）的图象上，有点1234PPPP，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为123SSS，，，则123SSS．13．对于二次函数y=ax2+bx+c下列命题：①0abc时240bac；②bac时方程20axbxc有两个不相等的实数根；③23bac时方程20axbxc有两个不相等的实数根；④若240bac，则二次火车隧道oyxoyxoyxoyx（第10题图）函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确序号的是14．（10日照）一次函数y=34x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点，使△ABC为等腰三角形，则这样的的点C最多．．有个．15．若︱a︱=3，︱b︱=2，且a＞b，则a+b=．16．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为________.17.已知关于x的方程k2x2－2(k＋1)x＋1＝0有实数根，求k的取值范围是18．五个正整数从小到大排列，若这组数据的中位数是4，唯一众数是5，则这五个正整数的和为.19.（10上海）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为__________.20.(10聊城)函数y1＝x(x≥0)，y2＝4x(x＞0)的图象如图所示，下列结论：①两函数图象的交点坐标为A（2，2）；②当x＞2时，y2＞y1；③直线x＝1分别与两函数图象交于B、C两点，则线段BC的长为3；④当x逐渐增大时，y1的值随着x的增大而增大，y2的值随着x的增大而减小．则其中正确的有（只填序号）。三、解答题：21．（10台州）A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数