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用心爱心专心中考冲刺:总复习八圆的总复习一、考点分析:《圆》一章的内容,它是初中数学中最核心的内容之一。在近年各省市的考题中,其分值平均占到19.66%左右,试题所反映出的考点主要有:1、准确理解与圆有关的概念及性质,能正确辨别一类与圆有关的概念型试题。2、既会从距离与半径的数量关系,确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,又能从点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,探索相应半径与距离的数量关系。3、利用圆心角、圆周角、弦切角的定义及其它们之间特有的关系,解答或证明与角、线段有关的几何问题。4、会运用垂径定理、切线长定理、相交弦定理、切割线定理、割线定理证明一类与圆相关的几何问题。5、会利用圆内接正多边形的性质,圆的周长、扇形的弧长,圆、扇形、弓形的面积公式解决一类与圆柱、圆锥、圆台展开图有关的计算问题,并会借助分割与转化的思想方法求阴影部分的面积。6、会准确表述有关点的轨迹问题。7、会用T形尺找出圆形工件的圆心,会选用作垂直平分线的方法寻找有实际背景中的圆心问题,会作满足题设条件的圆和圆的切线、圆内接正多边形,并会以圆弧或圆的基本元素设计各种优美图案。8、综合运用圆、方程、函数、三角、相似形等知识解决一类与圆有关的中考压轴题。二、精选例题:例1.(1)在半径为5cm的⊙O中,弦AB的长等于6cm.若弦AB的两个端点A、B在⊙O上滑动(滑动过程中AB长度不变),则弦AB的中点C的轨迹是_________。(2)如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP长的取值范围是________。析解:本考题着重考查学生对点的轨迹概念的理解。(1)由于在定圆中,弦AB长度不变,且弦AB的两个端点A、B在⊙O上滑动,根据垂径定理,可知OC⊥AB,且OC===4(定值)。用心爱心专心这说明弦AB的中点C的轨迹应是以O为圆心,4cm长为半径的圆。(2)依据点到直线间垂线段最短公理,可过O作OC⊥AB,交AB于点C,由勾股定理,可知OC===3,又P是弦AB上的一个动点,则OP长满足OC≤OP≤OB,即3≤OP≤5。例2.(1)如图,在RtΔABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以C为圆心,R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点,则R的取值范围是________。(2)如图,已知等边ΔABC的边长为2cm,下列以A为圆心的各圆中,半径是3cm的圆是()(3)两圆半径长分别是R和r(Rr),圆心距为d,若关于x的方程x2-2rx+(R-d)2=0有相等的两实数根,则两圆的位置关系是()A、一定内切B、一定外切C、相交D、内切或外切析解:(1)、(2)小题从正反两方面考查了直线与圆的位置关系;(3)小题着重考查了圆与圆的位置关系。对于第(1)小题,有两种情形:其一,以C为圆心,R为半径的圆与斜边AB相切,易求出R==2.4;其二,以点C为圆心,R为半径的圆与斜边AB相交于一点,那么半径R应满足ACR≤BC,即3R≤4.对于第(2)小题,可过A作AD⊥BC,交BC于点D。可求出AD=3cm,与已知圆的半径相等,故圆与直线BC相切,应选B。对于第(3)小题,由题设条件得Δ=(-2r)2-4(R-d)2=4(R+r-d)(r-R+d)=0∵Rr,∴R+r=d,或R-r=d.用心爱心专心说明两圆的位置关系是外切或内切。故应选D。例3.计算:(1)已知圆的面积为81πcm2,其圆周上一段弧长为3πcm,那么这段弧所对圆心角的度数是_________。(2)如图,AB、CD是⊙O的直径,⊙O的半径为R,AB⊥CD,以B为圆心,以BC为半径作,则与围成的新月形的面积为()平方单位。A、(π-1)R2B、R2C、(π+1)R2D、πR2析解:(1)先由圆的面积,可求出其半径R=9cm;又知圆周上一段弧长l=3πcm,由扇形的弧长公式:l=,得n==60,所以圆心角为60°.(2)把不规则图形分割成几个规则的图形,是求阴影部分面积的常规思路,但其分割方法一般不惟一。S阴影ACED=S⊙O-S弓形CED∵S弓形CED=S扇形BCED-SΔBCD,S扇形BCED=R2,SΔBCD=·2R·R=R2,∴S阴影ACED=R2-R2+R2=R2,故应选B。例4.已知:⊙O的半径OA=1,弦AB、AC的长分别是,,求∠BAC的度数。解:如图所示,作OD⊥AB,OE⊥AC,则AD=,AE=,用心爱心专心∵OA=1,在RtΔODA中,cos∠OAD=,∴∠OAD=45°,在RtΔOAE中,cos∠OAE=,∴∠OAE=30°,当AC、AB位于OA两侧时,有∠BAC=∠OAB+∠OAE=75°;当AC、AB位于OA同侧时,有∠BAC=∠OAB-∠OAE=15°说明:有关弦长,弦心距的问题,往往需要作垂直于弦的直径(半径或弦心距),利用垂径定理平分弦以及半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的。例5.已知:如图所示,ΔABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交⊙O的切线BF于点F,B为切点,求证:(1)BD平分∠CBF;(2)AB·BF=AF·CD。证明(1)∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∵BF切⊙O于点B,∴∠3=∠1,又∵∠2=∠4,∴∠3=∠4,即BD平分∠CBF。(2)在ΔDBF和ΔBAF中,∵∠3=∠1,∠F=∠F,∴ΔDBF∽ΔBAF,∴,即AB·BF=AF·BD∵∠1=∠2,∴BD=CD,∴AB·BF=AF·CD说明:证明三角形相似,常常通过圆内、外的角进行转化。例6.如图,AD是ΔABC外角∠EAC的平分线,AD与三角形的外接圆交于点D,AC,BD相交于点P,求证:(1)ΔDBC为等腰三角形;(2)AB∶BD=BP∶PC。证明:(1)∵AD是∠EAC的平分线,∴∠EAD=∠DAC,用心爱心专心∵∠EAD是圆内接四边形ABCD的外角,∴∠EAD=∠DCB,又∵∠DAC=∠DBC∴∠DCB=∠DBC,∴ΔDBC是等腰三角形。(2)在ΔABP和ΔDCP中,∵∠BAP=∠CDP,∠APB=∠DPC,∴ΔABP∽ΔDCP,∴AB∶DC=PB∶PC,又BD=DC,∴AB∶BD=PB∶PC。说明:当遇到四边形内接于圆时,应考虑圆的内接四边形的性质定理,它是证明角相等或互补的常用依据之一。例7.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线相交于点D,和⊙O相交于点E。若AC平分∠DAB,(1)求证:∠ADC=90°;(2)若AB=2r,AD=r,求DE的长。(1)证明:连结OC,∵CD是⊙O的切线,∴OC⊥CD,∵OA=OC,∴∠1=∠2,∵∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴AD//OC,∴AD⊥CD,即∠ADC=90°。(2)解:连结BC,则∠ACB=90°,由(1)得RtΔABC∽RtΔACD,∴,∴AC2=AB·AD=2r·r=r2.又∵CD2=AC2-AD2=r2,,且CD2=DE·AD,∴DE=r.说明:证明一条直线是圆的切线,通常选择:(1)到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线;(2)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。而涉及切线问题时,应灵活运用切线的性质,通常连结切点和圆心。例8.如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O2的切线CF交⊙O1于C,直线用心爱心专心CB交⊙O2于D,直线DA交⊙O1于E,连CE。求证:(1)ΔCAE是等腰三角形;(2)DA·DE=CD2-CE2证明:(1)连结AB,∵CA是⊙O2的切线,∴∠FAD=∠ABD,又∠ABD=∠E,∴∠E=∠FAD=∠EAC,∴ΔCAE是等腰三角形。(2)∵CA2=CB·CD,DA·DE=BD·DC,∴CA2+DA·DE=CB·CD+BD·DC=CD2,又CA=CE,∴DA·DE=CD2-CE2。说明:两圆相交时,公共弦是重要的辅助线。一条公共弦,使弦切角与圆周角之间,圆内接四边形的外角与内角之间的关系得以沟通;常见的辅助线还有,两圆相切,作公切线。例9.已知:如图,在直角坐标系中,以y轴上的点C为圆心,1为半径的圆与x轴相切于原点O。点P在x轴的负半轴上,PA切⊙O于点A,AB为⊙C的直径,PC交OA于点D。(1)求证:PC⊥OA;(2)若点P的坐标为(-2,0),求直线AB的解析式;(3)若点P在x轴的负半轴上运动,原题的其他条件不变,设点P的坐标为(x,0),四边形POCA的面积为S,求S与点P的横坐标x之间的函数关系式;(4)在(3)的情况下,分析并判断是否存在这样的一点P,使S四边形POCA=SΔAOB。若存在,直接写出点P的坐标(不写过程);若不存在,简要说明理由。析解:这是一道坐标几何题,融合了函数,四边形,圆等有关知识,其综合性极强。(1)易从PO、PA与⊙C相切,推出PA=PO,∠APC=∠OPC,∴PC⊥OA;(2)可设直线AB的解析式为y=kx+b.用心爱心专心作BE⊥x轴于E,由OC=1,OP=2,可得PC=,ΔCDO∽ΔCOP,则,CD=,又OB⊥OA,PC⊥OA,∴OB//PC,又AC=CB,∴OB=2CD=,由ΔBOE∽ΔCPO,得,即,∴BE=,OE=,∴B点坐标为(,).又C(0,1),∴解得k=-,b=1,∴y=-x+1,(3)易求出S四边形POCA=2SΔPOC=2×·(-x)·1=-x,即S=-x(x0).(4)如图,存在这样一点P,其坐标为(-1,0),不妨设S四边形POCA=SΔAOB,∵SΔAOB=2SΔAOC,∴S四边形POCA=2SΔAOC,∴SΔAOP=SΔAOC又OA⊥PC,∴PD=CD,∴PO=OC=1,∴P(-1,0).
本文标题:中考数学冲刺总复习八圆的总复习
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