中考数学复习专题精品导学案第9讲分式方程(含答案)

2013年中考数学专题复习第九讲：分式方程【基础知识回顾】一、分式方程的概念分母中含有的方程叫做分式方程【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分方程和整式方程根本依据】二、分式方程的解法：1、解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程：即分式方程整式﹥方程2、解分式方程的一般步骤：1、2、3、3、培根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可产生使原方程分母为的根称为方程的培根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为的根是培根应舍去。【名师提醒：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略2、分式方程的培根与无解并非用一个概念，无解完包含产生培根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解。如：1xax-3x=1无解，有a的值培根】三、分式方程的应用：解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须完要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。【名师提醒：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水、航行这一类型】【重点考点例析】考点一：分式方程的概念（解为正、负数）例1（2009•孝感）关于x的方程211xax的解是正数，则a的取值范围是（）A．a＞-1B．a＞-1且a≠0C．a＜-1D．a＜-1且a≠-2思路分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围．解：去分母得，2x+a=x-1，∴x=-1-a，∵方程的解是正数，∴-1-a＞0即a＜-1。转化又因为x-1≠0，∴a≠-2。则a的取值范围是a＜-1且a≠-2故选D．点评：由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解列出关于a的不等式，另外，解答本题时，易漏掉a≠-2，这是因为忽略了x-1≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．例2（2012•鸡西）若关于x的分式方程2213mxxx无解，则m的值为（）A．-1.5B．1C．-1.5或2D．-0.5或-1.5思路分析：去分母得出方程①2m+x）x-x（x-3）=2（x-3），分为两种情况：①根据方程无解得出x=0或x=3，分别把x=0或x=3代入方程①，求出m；②求出当2m+1=0时，方程也无解，即可得出答案．解：方程两边都乘以x（x-3）得：（2m+x）x-x（x-3）=2（x-3），即（2m+1）x=-6，①①∵当2m+1=0时，此方程无解，∴此时m=-0.5，②∵关于x的分式方程2213mxxx无解，∴x=0或x-3=0，即x=0，x=3，当x=0时，代入①得：（2m+0）×0-0×（0-3）=2（0-3），解得：此方程无解；当x=3时，代入①得：（2m+3）×3-3（3-3）=2（3-3），解得：m=-1.5，∴m的值是-0.5或-1.5，故选D．点评：本题考查了对分式方程的解的理解和运用，关键是求出分式方程无解时的x的值，题目比较好，需要考虑周全，不要漏解，难度也适中．对应训练1．（2010•牡丹江）已知关于x的分式方程22x-2ax=1的解为负数，那么字母a的取值范围是．1．a＞0且a≠22．（2011•黑龙江）已知关于x的分式方程1ax-221axxx=0无解，则a的值为．2．0、12、或-12．解：去分母得ax-2a+x+1=0．∵关于x的分式方程1ax-221axxx=0无解，（1）x（x+1）=0，解得：x=-1，或x=0，当x=-1时，ax-2a+x+1=0，即-a-2a-1+1=0，解得a=0，当x=0时，-2a+1=0，解得a=12．（2）方程ax-2a+x+1=0无解，即（a+1）x=2a-1无解，∴a+1=0，a=-1．故答案为：0、12或-1．点评：本题主要考查了分式方程无解的情况，需要考虑周全，不要漏解，难度适中．考点二：分式方程的解法例3（2012•上海）解方程：261339xxxx．思路分析：观察可得最简公分母是（x+3）（x-3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解：方程的两边同乘（x+3）（x-3），得x（x-3）+6=x+3，整理，得x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3．经检验：x=3是方程的增根，x=1是原方程的根，故原方程的根为x=1．点评：本题考查了分式方程的解法．注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定要验根．对应训练3．（2012•苏州）解分式方程：231422xxxx．3．解：去分母得：3x+x+2=4，解得：x=12，经检验，x=12是原方程的解．考点三：分式方程的增根问题例4（2012•攀枝花）若分式方程：2+12kxx=12x有增根，则k=．思路分析：把k当作已知数求出x=22k，根据分式方程有增根得出x-2=0，2-x=0，求出x=2，得出方程22k=2，求出k的值即可．解：∵分式方程2+12kxx=12x有增根，去分母得：2（x-2）+1-kx=-1，整理得：（2-k）x=2，当2-k≠0时，x=22k；当2-k=0是，此方程无解，即此题不符合要求；∵分式方程2+12kxx=12x有增根，∴x-2=0，2-x=0，解得：x=2，即22k=2，解得：k=1．故答案为：1．点评：本题考查了对分式方程的增根的理解和运用，题目比较典型，是一道比较好的题目，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．对应训练4．（2012•佳木斯）已知关于x的分式方程12ax=1有增根，则a=．4．14．解：方程两边都乘以（x+2）得，a-1=x+2，∵分式方程有增根，∴x+2=0，解得x=-2，∴a-1=-2+2，解得a=1．故答案为：1．考点四：分式方程的应用例5（2012•岳阳）岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成．（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？思路分析：（1）设乙队需要x个月完成，则甲队需要（x-5）个月完成，根据两队合作6个月完成求得x的值即可；（2）根据费用不超过141万元列出一元一次不等式求解即可．解：（1）设乙队需要x个月完成，则甲队需要（x-5）个月完成，根据题意得：11156xx，解得：x=15，经检验x=15是原方程的根．答：甲队需要10个月完成，乙队需要15个月完成；（2）根据题意得：15a+9b≤141，11015ab,解得：a≤4b≥9．∵a、b都是整数∴a=4b=9或a=2b=12点评：此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，列出方程，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．对应训练5．（2012•珠海）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30支．（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？5．解：（1）设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程得，6006003054xx，解得，x=4，检验：当x=4时，分母不为0，故x=4是原分式方程的解．答：第一次每只铅笔的进价为4元．（2）设售价为y元，根据题意列不等式为：600600(4)(5)4205444yy…，解得，y≥6．答：每支售价至少是6元．【聚焦山东中考】1．（2012•莱芜）对于非零的实数a、b，规定a⊕b=﹣．若2⊕（2x﹣1）=1，则x=（）A．B．C．D．﹣考点：解分式方程。810360专题：新定义。分析：根据新定义得到﹣=1，然后把方程两边都乘以2（2x﹣1）得到2﹣（2x﹣1）=2（2x﹣1），解得x=，然后进行检验即可．解答：解：∵2⊕（2x﹣1）=1，∴﹣=1，去分母得2﹣（2x﹣1）=2（2x﹣1），解得x=，检验：当x=时，2（2x﹣1）≠0，故分式方程的解为x=．故选A．点评：本题考查了解分式方程：先去分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，然后把整式方程的解代入原方程进行检验，最后确定分式方程的解．也考查了阅读理解能力．2．（2012•潍坊）方程666003xx的根是．2．x=303．（2012•日照）某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元．请问该学校九年级学生有多少人？3．解：设九年级学生有x人，根据题意，列方程得：193619360.888xx，整理得：0.8（x+88）=x，解之得：x=352，经检验x=352是原方程的解．）答：这个学校九年级学生有352人．4．（2012•青岛）小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾高速公路，全程约84千米，返回时经过跨海大桥，全程约45千米．小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.2倍，所用时间却比返回时多20分钟．求小丽所乘汽车返回时的平均速度．4．解：设小丽所乘汽车返回时的平均速度是x千米/时，根据题意得：8445201.260xx，解这个方程，得x=75，经检验，x=75是原方程的解．答：小丽所乘汽车返回时的速度是75千米/时．5．（2012•临沂）某工厂加工某种产品．机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件，若加工1800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的37倍，求手工每小时加工产品的数量．5．解：设手工每小时加工产品x件，则机器每小时加工产品（2x+9）件，根据题意可得：180031800729xx，解方程得x=27，经检验，x=27是原方程的解，答：手工每小时加工产品27件．6．（2012•济南）冬冬全家周末一起去济南山区参加采摘节，他们采摘了油桃和樱桃两种水果，其中油桃比樱桃多摘了5斤，若采摘油桃和樱桃分别用了80元，且樱桃每斤价格是油桃每斤价格的2倍，问油桃和樱桃每斤各是多少元？6．解：设油桃每斤为x元，则樱桃每斤是2x元，根据题意得出：808052xx，解得：x=8，经检验得出：x=8是原方程的根，则2x=16，答：油桃每斤为8元，则樱桃每斤是16元．7．（2012•泰安）一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？7．解：（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天．根据题意，得1111.512xx，解得x=20，经检验知x=20是方程的解且符合题意．1.5x=30故甲，乙两公司单独完成此项工程，各需20天，30天；（2）设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为（y-1500）元，根据题意得12（y+y-1500）=102000，解得y=5000，甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20×5000=100000（元）；乙公司单独完成此项工程所需的施工费：30×（5000-1500）=105000（元）；故甲公司的施工费