中考数学总复习一点通教学案函数与一元二次方程

－1－3-5函数与一元二次方程知识考点：1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况；3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。精典例题：【例1】已抛物线1)2()1(2xmxmy（m为实数）。（1）m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？（2）如果抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。分析：抛物线与x轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m应满足的条件。略解：（1）由已知有0012mm，解得0m且1m（2）由0x得C（0，－1）又∵1mmaAB∴2112121mmOCABSABC∴34m或54m∴132312xxy或156512xxy【例2】已知抛物线)6(2)8(222mxmxy。（1）求证：不论m为任何实数，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个点都在x轴的正半轴上；（2）设抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，当△ABC的面积为48平方单位时，求m的值。（3）在（2）的条件下，以BC为直径作⊙M，问⊙M是否经过抛物线的顶点P？解析：（1）0)4(22m，由08221mxx，0)6(2221mxx可得证。（2）)6(8)8(4)(2222122121mmxxxxxxBC－2－＝42m)6(22mOA又∵48ABCS∴48)6(2)4(2122mm解得22m或122m（舍去）∴2m（3）16102xxy，顶点（5，－9），6BC∵69∴⊙M不经过抛物线的顶点P。评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。探索与创新：【问题】如图，抛物线4)(22cxbaxy，其中a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边。（1）求证：该抛物线与x轴必有两个交点；（2）设有直线bcaxy与抛物线交于点E、F，与y轴交于点M，抛物线与y轴交于点N，若抛物线的对称轴为ax，△MNE与△MNF的面积之比为5∶1，求证：△ABC是等边三角形；（2）当3ABCS时，设抛物线与x轴交于点P、Q，问是否存在过P、Q两点且与y轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）))(()(22cbacbacba∵0cba，0cba∴0（2）由aba2得ba由bcaxycxbaxy4)(22得：0432accaxxyx问题图EQFPMON－3－设E（1x，1y），F（2x，2y），那么：axx321，accxx4221由MNES∶MNFS＝5∶1得：215xx∴215xx或215xx由021xx知215xx应舍去。由212153xxaxx解得22ax∴acca42522，即04522caca∴ca或05ca（舍去）∴cba∴△ABC是等边三角形。（3）3ABCS，即3432a∴2a或2a（舍去）∴2cba，此时抛物线142xxy的对称轴是2x，与x轴的两交点坐标为P（32，0），Q（32，0）设过P、Q两点的圆与y轴的切点坐标为（0，t），由切割线定理有：OQOPt2∴1t故所求圆的圆心坐标为（2，－1）或（2，1）评注：本题（1）（2）问与函数图像无关，而第（3）问需要用前两问的结论，解题时千万要认真分析前因后果。同时，如果后一问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。跟踪训练：一、选择题：1、已知抛物线mxmxy)1(52与x轴两交点在y轴同侧，它们的距离的平方等于2549，则m的值为（）yx问题图EQFPMON－4－A、－2B、12C、24D、－2或242、已知二次函数cbxaxy21（a≠0）与一次函数mkxy2（k≠0）的图像交于点A（－2，4），B（8，2），如图所示，则能使21yy成立的x的取值范围是（）A、2xB、8xC、82xD、2x或8xyx第2题图BAOyx第3题图EBAOyx第4题图BAO3、如图，抛物线cbxaxy2与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，则下列关系：①0ca；②0b；③1ac；④2cSABE其中正确的有（）A、4个B、3个C、2个D、1个4、设函数1)1(22mxmxy的图像如图所示，它与x轴交于A、B两点，线段OA与OB的比为1∶3，则m的值为（）A、31或2B、31C、1D、2二、填空题：1、已知抛物线23)1(2kxkxy与x轴交于两点A（，0），B（，0），且1722，则k＝。2、抛物线mxmxy2)12(2与x轴的两交点坐标分别是A（1x，0），B（2x，0），且121xx，则m的值为。3、若抛物线1212mmxxy交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且∠ACB＝900，则m＝。4、已知二次函数1)12(2xkkxy与x轴交点的横坐标为1x、2x)(21xx，则对于下列结论：①当2x时，1y；②当2xx时，0y；③方程1)12(2xkkx＝－5－0有两个不相等的实数根1x、2x；④11x，12x；⑤kkxx21241，其中所有正确的结论是（只填写顺号）。三、解答题：1、已知二次函数cbxaxy2（a≠0）的图像过点E（2，3），对称轴为1x，它的图像与x轴交于两点A（1x，0），B（2x，0），且21xx，102221xx。（1）求这个二次函数的解析式；（2）在（1）中抛物线上是否存在点P，使△POA的面积等于△EOB的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。2、已知抛物线42)4(2mxmxy与x轴交于点A（1x，0），B（2x，0）两点，与y轴交于点C，且21xx，0221xx，若点A关于y轴的对称点是点D。（1）求过点C、B、D的抛物线解析式；（2）若P是（1）中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且△HBD与△CBD的面积相等，求直线PH的解析式；－6－3、已知抛物线mmxxy223212交x轴于点A（1x，0），B（2x，0）两点，交y轴于点C，且210xx，112)(2COBOAO。（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点，使∠APB为锐角、钝角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。