中考第二轮复习几何动态问题

第1页版权所有不得复制年级初三学科数学版本人教新课标版课程标题中考第二轮复习——几何动态问题编稿老师巩建兵一校林卉二校黄楠审核王百玲一、学习目标：了解几何动态问题的特点，学会分析变量与其他量之间的内在联系，探索图形运动的特点和规律，掌握动态问题的解题方法．二、考点分析：近几年在中考数学试卷中动态类题目成了压轴题中的常选内容，有点动、线动、图形运动等类型，呈现方式丰富多彩，强化各种知识的综合与联系，有较强的区分度，且所占分值较高，具有一定的挑战性．几何动态问题是指：在图形中，当某一个元素，如点、线或图形等运动变化时，问题的结论随之改变或保持不变的几何问题．它是用运动变化的观点，创设一个由静止的定态到按某一规则运动的动态情景，通过观察、分析、归纳、推理，动中窥定，变中求静，以静制动，从中探求本质、规律和方法，明确图形之间的内在联系．几何动态问题关心“不变量”，所体现的数学思想方法是数形结合思想，这里常把函数与方程、函数与不等式联系起来，实际上是一般化与特殊化的方法．当求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求特殊位置关系或数值时，常建立方程模型求解．必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法．知识点一：动点问题例1.如图所示，在直角梯形ABCD中，CD∥AB，∠A＝90°，AB＝28cm，DC＝24cm，AD＝4cm，点M从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动，点N从点B同时出发，以2cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．则四边形ANMD的面积y（cm2）与两动点运动的时间t（s）的函数图象大致是（）ABCDMN第2页版权所有不得复制O145628t(s)y(cm2)O2856t(s)y(cm2)O2856t(s)y(cm2)O145628t(s)y(cm2)ABCD思路分析：1）题意分析：本题涉及到的知识点主要有直角梯形、函数及其图象等．2）解题思路：当N从B运动到A共用时282＝14（s），当M从D运动到C共用时241＝24（s），因为t＝0或14时，ANMD是三角形，所以t的取值范围为0＜t＜14．y＝12·AD·（DM＋AN）＝12×4×（t＋28－2t）＝－2t＋56．所以其图象为D．解答过程：D解题后的思考：本题中有两个动点，在允许的范围内某一时刻四边形ANMD是固定不动的，可用含t的式子表示出面积y，再根据y与t之间的关系式确定函数图象．例2.如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE＝1，CF＝43，直线FE交AB的延长线于G．过线段FG上的一个动点H作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足分别为M、N．设HM＝x，矩形AMHN的面积为y．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？EHFCNMGBAD思路分析：1）题意分析：本题通过点H的运动变化，综合考查四边形、线段的比、二次函数等知识．2）解题思路：解答本题的关键是用含x的式子表示出AM，而AM＝AB＋BM＝4＋BM．BM又可看作是BG与MG的差，运用△CEF和△BEG的关系可求出BE和BG的长，运用△MHG和△BEG的关系可表示出MG．解答过程：（1）∵正方形ABCD的边长为4，CE＝1，CF＝43，∴CF∥AG，BE＝3．∴CFBG＝CEBE，∴BG＝4．∵HM⊥AG，CB⊥AG，∴HM∥BE．∴MGBG＝HMBE．∴MG＝43x．∴y第3页版权所有不得复制＝x（4＋4－43x）＝－43x2＋8x．（2）∵y＝－43x2＋8x＝－43（x－3）2＋12．∴x＝3时，y最大，最大面积是12．解题后的思考：本题中有一个动点，点H的变化引起AM和HM的变化，但AM与HM之间总有一种不变的关系，正是利用这种不变的关系求出AM，从而确定四边形AMHN的面积y与x的函数关系式．例3.如图所示，已知直线y＝－33x＋1与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，且点P（1，a）为坐标系中的一个动点．（1）求S△ABC；（2）证明不论a取任何实数，△BOP的面积是一个常数；（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．ABCOxy思路分析：1）题意分析：本题中动点P的位置没有给出来，根据点P的坐标特征，它应该在一条直线上，这条直线与y轴平行，在y轴的右侧，到y轴的距离是1．点P的位置随a的变化而在直线x＝1上运动．2）解题思路：（1）因为△ABC为等腰直角三角形，所以只要求出AB即可．又因为A、B两点是已知直线与x轴、y轴的交点，所以两点坐标可求，这样OA、OB的长可求，在Rt△OAB中，利用勾股定理可求得AB．（2）求△BOP的面积可以以OB为底，点P到y轴的距离为高．底边OB不变，高为点P的横坐标1，所以S△BOP为常数．（3）注意满足条件的点P可能在第四象限，也可能在第一象限．解答过程：（1）在y＝－33x＋1中，令x＝0，得点B坐标为（0，1）；令y＝0，得点A坐标为（3，0）．由勾股定理可得AB＝2，所以S△ABC＝12×AB×AC＝2．（2）不论a取任何实数，△BOP都可以以BO＝1为底，点P到y轴的距离1为高，所以S△BOP＝12为常数．（3）当点P在第四象限时，因为S△ABO＝32，S△APO＝－32a，所以S△ABP＝S△ABO＋S△APO－S△BOP＝S△ABC＝2．即32－32a－12＝2，解得a＝1－533．当点P在第一象限时，因第4页版权所有不得复制为S△ABO＝32＜2，所以点P一定在直线AB的上方，此时S△ABP＝S△APO＋S△BOP－S△ABO，即32a＋12－32＝2，可得a＝1＋3．解题后的思考：求△ABC的面积实质是求它的两条直角边长，本题的（1）和（2）问比较容易，（3）问难度稍微大一些，应注意分情况讨论．小结：解答动点问题要“以静制动”，即把动态问题变为静态问题来解．一般方法是抓住变化中的“不变量”，首先根据题意理清题目中变量的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表示出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识求解．知识点二：动线问题例4.小明在研究垂直于直径的弦的性质的过程中（如图所示，直径AB⊥弦CD于E），设AE＝x，BE＝y，他用含x、y的式子表示图中的弦CD的长度，通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系，发现了一个关于正数x、y的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式__________．ABCDOExy思路分析：1）题意分析：关于x、y的不等式是通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系得出的，解本题的关键是找出AB与CD的某种数量关系．2）解题思路：连接AC、BC，易得△ACE∽△CBE，得AECE＝CEEB，即CE2＝xy，CE＝xy．∴CD＝2xy．∵AB≥CD，∴x＋y≥2xy．解答过程：x＋y≥2xy解题后的思考：在这个问题中，弦CD是变化的，直径AB（即x＋y）是不变的，弦CD无论怎样变化都不会超过直径，正是根据这一点确定了本题的不等关系式．例5.如图，已知平行四边形ABCD及四边形外一直线l，四个顶点A、B、C、D到直线l的距离分别为a、b、c、d．（1）观察图形，猜想得出a、b、c、d满足怎样的关系式？证明你的结论．（2）现将l向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论．ABCDB1A1C1D1labcd第5页版权所有不得复制思路分析：1）题意分析：本题是线动平移问题，问题的结论具有开放性，需要学生有一定的类比能力和绘图能力．2）解题思路：解答本题时可以从特殊位置开始，比如当直线l过点A时，找出a、b、c、d之间的关系式，再把它进行推广．解答过程：（1）a＋c＝b＋d．证明：如图①所示，连结AC、BD，且AC、BD相交于点O，OO1为点O到l的距离，∴OO1为直角梯形BB1D1D的中位线，∴2OO1＝DD1＋BB1＝b＋d；同理：2OO1＝AA1＋CC1＝a＋c．∴a＋c＝b＋d．①ABCDB1A1C1D1lOO1ABCDB1A1C1D1lOO1②（2）不一定成立．分别有以下情况：直线l过A点时，c＝b＋d；如图②所示，直线l过A点与B点之间时，c－a＝b＋d；直线l过B点时，c－a＝d；直线l过B点与D点之间时，a－c＝b－d；直线l过D点时，a－c＝b；直线l过C点与D点之间时，a－c＝b＋d；直线l过C点时，a＝b＋d；直线l过C点上方时，a＋c＝b＋d．解题后的思考：在本题中，直线l做上下平移运动，直线l的位置变化引起a、b、c、d的变化，不变的是它们所在图形的中位线重叠，通过这一不变性找出a、b、c、d之间的关系式．小结：线动问题的基本特征是：在一个运动变化过程中，某些直线或线段保持一种位置关系不变，如垂直、平行，而一些线段的长度发生变化．这类问题通常用直角三角形、四边形、全等形、相似形等知识建立线段之间的数量关系，从而解决问题．知识点三：图形运动问题例6.如图所示，⊙A、⊙B的圆心A、B在直线l上，两圆半径都为1cm，开始时圆心距AB＝4cm，现⊙A、⊙B同时沿直线l以每秒2cm的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙A运动的时间为__________秒．ABl思路分析：1）题意分析：这两个圆是等圆，只能形成外切，但应注意外切有两种状态．2）解题思路：相切的两种情况是：点A在点B左边时，这两个圆各移动了1cm，用时12秒；点A在点B右边时，两圆各移动了3cm，用时32秒．解答过程：12或32解题后的思考：本题有两种解题策略：①确定两圆相切时⊙A和⊙B的移动距离，再求运动时间；②设⊙A运动t秒时，两圆相切．点A和点B重合以前，⊙A和⊙B相切一次，第6页版权所有不得复制此时AB＝4－2t－2t＝4－4t；点A和点B重合以后，⊙A和⊙B相切一次，此时AB＝2t＋2t－4＝4t－4．两圆相切时AB＝2，即4－4t＝2或4t－4＝2．解得t＝12或32．例7.如图①所示，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重合时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积，S’表示矩形NFQC的面积．（1）S与S’相等吗？请说明理由．（2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？（3）如图②所示，连结BE，当AE为何值时，△ABE是等腰三角形．ABCDEFGHQPMNABCDEFGHQPMN①②SS'思路分析：1）题意分析：本题的运动过程比较简单，矩形EFGH沿AC平移，考查的知识点有：矩形、平移、函数、等腰三角形等．2）解题思路：（1）S与S’的关系可通过矩形EFGH中各三角形面积的和差关系确定；（2）在△EPC和△CGM中用含x的式子表示出PC和CM，S＝PC·CM，注意AE＝CG可由平移的性质得出；（3）注意△ABE是等腰三角形可能有多种情况．解答过程：（1）相等．理由是：∵四边形ABCD、EFGH是矩形，∴S△EGH＝S△EGF，S△ECN＝S△ECP，S△CGQ＝S△CGM，∴S△EGH－S△ECP－S△CGM＝S△EGF－S△ECN－S△CGQ，即：S＝S’．（2）∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝5．设AE＝x，则EC＝5－x，PC＝35（5－x），MC＝45x，∴S＝PC·MC＝1225x（5－x），即S＝－1225x2＋125x（0≤x≤5）．配方得S＝－1225（x－52）2＋3，所以当x＝52时，S有最大值3．（3）如下图所示，当AE＝AB＝3或AE＝BE＝52或AE＝3.6时，△ABE是等腰三角形．ABEABEABE解题后的思考：函数是刻画图形运动问题的最佳数学模型，解决这类问题时，要从观察第7页版权所有不得复制入手，抓住图形运