九年级数学上第一章

第一章证明（二）【教材分析】本章内容包括等腰三角形、直角三角形、线段的垂直平分线和角的平分线四部分内容，是在《证明（一）》有关公理与推论的基础上进行的，对于本章中的一些命题，学生前面已经有所接触并通过一些直观的方法进行了探索，本章则更强调严格的推理和演绎推理也提出了更高的要求。三角形是最基本的直线型平面图形，是研究所有其他图形的工具和基础。本章一方面对三角形当中的特殊图形进行了深入研究探索，另一方面，进一步提高学生的推理论证水平，使初中的推理证明学习进入了严格论证阶段。同时，一些重要的教学思想和方法，如归纳、类比、转化、反证等也将在本章中得到进一步的强化与渗透。因此，本章无论在知识还是能力培养上都在学生学习平面几何的过程中发挥着较为重要的作用。【教学目标】1.经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，发展学生初步的演绎推理能力。2.进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义。3.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。4.了解作为证明的基础的几条公理的内容，能够证明与三角形、线段垂直平分线、角的平分线等有关的性质定理与判定定理。5.进一步培养学生的推理论证能力及表达能力，渗透相关的数学思想及方法，激发学生的学习兴趣。【教学重点】1.等腰三角形的性质、判定及应用。2.勾股定理的逆定理及斜边、直角边定理及应用。3.线段的垂直平分线、角的平分线，已知底边及底边上的高作等腰三角形。【教学难点】1.应用三角形、线段垂直平分线、角的平分线解决问题。2.探索证明的思路与方法。3.用规范的数学语言表达推理论证的过程。4.对于反证法的初步理解。【课时安排】课题课时你能证明它们吗？3课时直角三角形2课时线段的垂直平分线2课时角平分线2课时回顾与思考2课时1.你能证明它们吗?（一）教学目标：知识与技能1．了解作为证明基础的几条公理的内容。2．掌握证明的基本步骤和书写格式。过程与方法1．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。2．能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理。情感态度与价值观1．启发、引导学生体会探索结论和证明结论，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系。2．培养学生合作交流、独立思考的良好学习习惯。教学重点1.了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。2.探索证明的思路与方法，能运用综合法证明问题。教学难点探究问题的证明思路及方法，能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理。教学方法观察法、探究法教学过程教学过程教学随笔一、复习：1、什么是等腰三角形？2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？二、新课讲解：在《证明（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。同学们和我一起来回忆上学期学过的公理本套教材选用如下命题作为公理:1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）5.三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）证明过程：已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF求证：△ABC≌△DEF证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）∠C=180°-(∠A+∠B)∠F=180°-(∠D+∠E)∠C=∠F（等量代换）BC=EF（已知）△ABC≌△DEF（ASA）这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。三、议一议：（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。定理：等腰三角形的两个底角相等。这一定理可以简单叙述为：等边对等角。已知：如图，在ABC中，AB＝AC。求证：∠B＝∠C证明：取BC的中点D，连接AD。∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABC△≌△ACD(SSS)∴∠B=∠C(全等三角形的对应边角相等)四、想一想：在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。五、随堂练习：做教科书第4页第1，2题。六、课堂小结：通过本课的学习我们了解了作为基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。探体会了反证法的含义。七、布置作业：教科书第5页第1，2题。DABCABCFED板书设计：教学反思1.你能证明它们吗?（二）教学目标：知识与技能掌握证明的基本思路和书写格式。过程与方法经历观察——探索——发现的过程，能运用综合法证明等腰三角形判定定理。情感态度与价值观1．感悟证明的实际意义以及必要性，形成探究意识。2．结合实例体会反证法的含义，培养逆向思维。教学重点掌握证明的常见方法以及书写推理过程。教学难点寻找证明的思路，选择证明的方法。教学方法观察法、探究法教学过程§1.1、你能证明它们吗(一)公理：SASASASSS推论：AAS三线合一对应相等的两个三角形全等。（AAS）DABC教学过程教学随笔一、等腰三角形性质的探究1．让学生回忆上节课的教学内容，引导学生思考从等腰三角形中能找到哪些相等的线段。2．播放课件，结合刚才的问题讲解例1的命题，并为后面将此性质拓展埋下伏笔。3．分别演示：中,∠ABD=k1∠ABC,∠ACE=k1∠ACB,k=31,41时,BD是否与CE相等。引导学生探究、猜测当k为其他整数时，BD与CE的关系。4.引导学生探究，对于上述例题，当AD=k1AC,AE=k1AB,k=21,31时，通过对例题的引申，培养学生的发散思维，经历探究—猜测—证明的学习过程。5．引导学生进一步推广，把上面3、4中的k取一般的自然数后，原结论是否仍然成立?要求学生说明理由或给出证明。6．对学生探究的结果予以汇总、点评，鼓励学生在自己做题目的时候也要多思多想，并要求学生对猜测的结果给出证明。7．提出新的问题，引导学生从“等角对等边”这个命题的反面思考问题，即思考它的逆命题是否成立。适时地引导学生思考可以用哪些方法证明?培养学生的推理能力。8．归纳学生提出的各种证法，清楚的分析证明的思路，培养学生演绎证明的初步的推理能力。9．启发学生思考：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，这个结论是否成立?如果成立，能否证明。这实际上是“等边对等角”的逆否命题，通过这样的表述可以提高学生的思维能力。10．总结这一证明方法，叙述并阐释反证法的含义，让学生了解。11．小结这该课时的内容。二、布置作业：P9页习题1.21、2题ABCDE板书设计§1.1、你能证明它们吗(二)探索——发现——猜想——证明定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。简单说成：等角对等边教学反思1.你能证明它们吗?（三）教学目标：知识与技能1．经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程。2．经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程。过程与方法1．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。2．经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。3．形成证明一些结论的基本策略，发展学生的实践能力和创新精神。情感态度与价值观1．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。教学重点掌握两个几何定理，以及推理证明的逻辑思想。教学难点渗透分类讨论的数学思想，以及辅助残的应用。教学方法观察法、探究法教学过程教学过程教学随笔一、定理：一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形1．引导学生回忆上节课的内容，让学生思考：等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形?让学生对普遍联系和相互转化有一个感性的认识。2．肯定学生的回答，并让学生进一步思考：有一个角是60°的等腰三家形是等边三角形吗?组织学生交流自己的想法。渗透分类讨论的思维方法。3．关注学生得出证明思路的过程，讲评。讲解定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。二、一种特殊直角三角形的性质1．让学生拼摆事先准备好的三角尺，提问：能拼成一个怎样的三角形?能否拼出一个等边三角形?并说明理由。2．肯定学生的发现和解释，在此基础上进一步深入提问：在直角三角形中，30°所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?3．演示规范的证明步骤，同时引导学生意识到：通过实际操作探索出的结论还需要给予理论证明。4．让学生准备一张正方形纸片，，按要求动手折叠。5．讲解P15例题，应用定理。6．布置学生做练习。练习：课本12页随堂练习1四、课堂小结：通过这节课的学习你学到了什么知识？了解了什么证明方法？五、布置作业：P13页习题1.31、2、题板书设计：教学反思2.直角三角形（一）教学目标：知识与技能1．掌握推理证明的方法，发展学生初步的演绎推理能力。2．进一步掌握推理证明和方法，发展演绎推理能力。§1.1、你能证明它们吗(三)有一个角等于60°的等腰三角形在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，是等边三角形。那么它所对的直角边等于斜边的一半。过程与方法1经历探索、猜测、证明的过程。学会运用本节定理进行证明。2．了解勾股定理及其逆定理的证明方法。情感态度与价值观1．培养学生综合分析能力，几何表达能力和积极主动的参与探索活动的良好习惯，体会数学结论在实际中的应用。2．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。教学重点掌握推理证明的方法，提高思维能力。教学难点对勾股定理、逆定理的推理证明以及对逆命题的叙述。教学方法观察法、探究法、合作交流教学过程教学过程教学随笔一、勾股定理1．让学生到黑板上画出他们观察到的生活中的直角三角形，并分别说出它们的作用在哪里。2．高度评价学生的参与热情和学习成果，激励学生继续努力。可以把其中很有创意的发现以该学生名字命名，以此保护学生的积极性。3．总结学生的“成果”，启发学生思考既然学生所找的三角形同属直角类，那么它们还有没有其他的共性?4．启发学生回忆以前用数方格和割补图形的方法得到的关于直角三角形三边关系的结论。让学生画出一个直角三角形并测量三边长，验证结论的正确性。5.讲解勾股定理，讲述有关的数学史，让学生对勾股定理的发现有所了解。二、勾股定理的逆定理1．利用学生画在黑板上的直角三角形提出问题：你如何证明你找的就是直角三角形呢?2．引导学生思考勾股定理的反面：在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，这个三角形是不是直角三角形?3．让学生画三角形并测量三边长长度。4．借此机会向学生说明命题的正确性一定要通过严格的逻辑证明来说明，不能凭直观猜测，在做题的过程中要注意监控自己的思路，做到步步有据，说理充分，培养学生的理性精神。5．对这个比较有挑战性的问题，首先让“呼之欲出”的学生说说他们的思路；并让学生试着给出比较详细的说明。6．表扬学生的积极发言，保护学生的积极性，并对他们的回答予以剖析，引导学生继续思考。7．点评学生的证明，并作为和学生平等的一分子给出证明，不把自己的证明作为难一的权威和正确的答案，让学生可以继续寻找其他的证法。8．比较勾股定理和勾股定理逆定理的表述方式有什么不同