九年级数学相似形测试题及答案

温州金苹果教育学校11相似三角形1.比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，abcdabcdadbcac()b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。（线段AB黄金分割点有2个）2.比例性质：①基本性质：abcdadbc②合比性质：±±abcdabbcdd③等比性质：……≠……abcdmnbdnacmbdnab()03.平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。则，，，…ABBCDEEFABACDEDFBCACEFDF②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。4.相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5.相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方3、涉及的问题及解题思路：证线段成比例、线段相等、线段的和差倍分、角相等；证平行、计算线段长；求三角形的面积。解题时，要注意抓住题设、结论的特点，设法将问题设法与证两个三角形相似联系。温州金苹果教育学校22一、选择题：1.如果两个相似三角形对应边的比是3：4，那么它们的对应高的比是__________A.9：16B.3：2C.3：4D.3：72.在比例尺为1：m的某市地图上，规划出长a厘米，宽b厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是__________米2A.104mabB.1042mabC.abm104D.abm24103.已知，如图，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论：①②ADBFABBC③EFABDEBC④CECFEABF其中正确的比例式的个数是__________A.4个B.3个C.2个D.1个4.如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点为顶点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长是__________A.16B.14C.16或14D.16或95.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD，交CB的延长线于点E，则下列结论正确的是__________A.△AED∽△ACBB.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACED.△AEC∽△DAC温州金苹果教育学校33二、填空题：1.已知abab2295，则ab：__________2.若三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边是21cm，则其余两边之和是__________cm3.如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=6，则DE=__________；△ADE与△ABC的面积之比为：__________。4.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AD=8，DB=6，EC=9，那么AE=__________5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，若AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，则EF=__________6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥CD，AD=6，BC=10，则梯形的面积为：__________三、解答题：1.如图，AD∥EG∥BC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求GF的长。2.如图：四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a的正方形，（1）求证：△AEF∽△CEA。（2）求证：∠AFB+∠ACB=45°。温州金苹果教育学校443.已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，EF经过点O且和两底平行，交AB于E，交CD于F。求证：OE=OF。4.已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：AEAFACAB5.如图，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD=∠B，若AD=6，AB=8，BD=7，求DC的长。6.如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC于F，过F作FG∥AB交AE于G，求证：AG2=AF·FC。温州金苹果教育学校55[参考答案]一、填空题：1.19：132.243.3；1：44.65.126.只要是使得其中两个数的比值等于另外两个数的比值即可，如：2222、等。7.14.48.166二、选择题：1.C2.D3.B4.D5.C三、解答题：1.解：∵AD∥EG∥BC∴在△ABC中，有EGBCAEAB在△ABD中，有EFADBEAB∵AE：AB=2：3∴BE：AB=1：3∴EGBCEFAD2313，∵BC=9，AD=6∴EG=6，EF=2∴GF=EG－EF=42.解：过点B作BE⊥CD于点E，∵∠CDB=60°，∠CBD=75°∴∠DBE=30°，∠CBE=∠CBD－∠DBE=75°－30°=45°∴△CBE是等腰直角三角形。∵AB=3AD，设AD=k，则AB=3k，BD=2k∴DE=k，BE3k∴BCk6温州金苹果教育学校66∴BDBCkk2623，BCABkk6323∴BDBCBCAB∴△ABC∽△CBD3.连结EC，∵BCBC∴∠E=∠A又∵BE是⊙O的直径∴∠BCE=90°又∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴△ADC∽△ECB∴ACEBCDBC即AC·BC=BE·CD4.（1）∵AD平分∠CAB∴∠CAE=∠FAE又∵AE⊥CF∴∠CEA=∠FEA=90°又∵AE=AE∴△ACE≌△AFE（ASA）∴CE=EF（2）∵∠ACB=90°，CE⊥AD，∠CAE=∠DAC∴△CAE∽△DAC∴ACADAEAC∴ACAEAD216·在Rt△ACB中BCABAC2222451664()∴BC8又∵CE=EF，EG∥BC∴FG=GB∴EG是△FBC的中位线∴EGBC124温州金苹果教育学校775.由∥，∥可知，、、都正确。而不能得到，DEBCEFABABDDEBCADBD故应选C。利用平行线分线段成比例定理及推论求解时，一定要分清谁是截线、谁是被截线，中很显然是两平行线段的比，因此应是利用三角相似后对应边成比CDEBC例这一性质来写结论，即DEBCADABAEAC6.∵△ABC是等边三角形∴∠C=∠B=60°又∵∠PDC=∠1+∠APD=∠1+60°∠APB=∠1+∠C=∠1+60°∴∠PDC=∠APB∴△PDC∽△APB∴PCABCDPB设PC=x，则AB=BC=1+x∴，∴，xxx12312∴AB=1+x=3。∴△ABC的边长为3。7证明：（1）∵四边形ABEG、GEFH、HFCD是正方形∴AB=BE=EF=FC=a，∠ABE=90°∴，AEaECa22∴，AEEFaaECAEaa22222∴AEEFECAE又∵∠CEA=∠AEF∴△CEA∽△AEF（2）∵△AEF∽△CEA∴∠AFE=∠EAC∵四边形ABEG是正方形∴AD∥BC，AG=GE，AG⊥GE∴∠ACB=∠CAD，∠EAG=45°∴∠AFB+∠ACB=∠EAC+∠CAD=∠EAG∴∠AFB+∠ACB=45°8.证明：∵AD∥EF∥BC∴，OEBCAEABOEADEBAB温州金苹果教育学校88∴OEBCOEADAEABEBABABAB1∴111BCADOE同理：111BCADOF∴11OEOF∴OE=OF从本例的证明过程中，我们还可以得到以下重要的结论：①∥∥ADEFBCADBCOE111②∥∥ADEFBCOEOFEF12③∥∥ADEFBCADBCOE1111122EFOF即112ADBCEF这是梯形中的一个性质，由此可知，在AD、BC、EF中，已知任何两条线段的长度，都可以求出第三条线段的长度。9.证明：在△ABD和△ADE中，∵∠ADB=∠AED=90°∠BAD=∠DAE∴△ABD∽△ADE∴ABADADAE∴AD2=AE·AB同理：△ACD∽△ADF可得：AD2=AF·AC∴AE·AB=AF·AC∴AEAFACAB10.解：在△ADC和△BAC中∵∠CAD=∠B，∠C=∠C∴△ADC∽△BAC∴ADABDCACACBC又∵AD=6，AD=8，BD=7∴DCACACDC734温州金苹果教育学校99即DCACACDC34734解得：DC=911.证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠ADC=∠BCE=90°又∵E是CD的中点，∴DE=CE∴Rt△ADE≌Rt△BCE∴AE=BE∵FG∥AB∴AEBEAGBF∴AG=BF在Rt△ABC中，BF⊥AC于F∴Rt△BFC≌Rt△AFB∴AFBFFBFC∴BF2=AF·FC∴AG2=AF·FC12.分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。解：延长BA、CD交于点P∵CH⊥AB，CD平分∠BCD∴CB=CP，且BH=PH∵BH=3AH∴PA：AB=1：2∴PA：PB=1：3∵AD∥BC∴△PAD∽△PBC∴：：△△SSPADPBC19∵△△SSPCHPBC12温州金苹果教育学校1010∴：△四边形SSPADAHCD27∵四边形SAHCD21∴△SPAD6∴SPBC△54∴△△SSHBCPBC1227