二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(北师大版)含答案

A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．不等式x－2y＞0表示的平面区域是()．解析将点(1,0)代入x－2y得1－2×0＝1＞0.答案D2．(2011·浙江)设实数x，y满足不等式组x＋2y－50，2x＋y－70，x≥0，y≥0.若x，y为整数，则3x＋4y的最小值是()．A．14B．16C．17D．19解析线性区域边界上的整点为(3,1)，因此最符合条件的整点可能为(4,1)或(3,2)，对于点(4,1)，3x＋4y＝3×4＋4×1＝16；对于点(3,2)，3x＋4y＝3×3＋4×2＝17，因此3x＋4y的最小值为16.答案B3．(2011·西安模拟)满足线性约束条件2x＋y≤3，x＋2y≤3，x≥0，y≥0的目标函数z＝x＋y的最大值是()．A．1B.32C．2D．3解析由线性约束条件画出可行域如图，A、B、C的坐标分别为A32，0，B(1,1)，C0，32，由图可知zmax＝1＋1＝2.答案C4．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为()．A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元解析设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件20x＋10y≥100，0≤x≤4，0≤y≤8，求线性目标函数z＝400x＋300y的最小值．解得当x＝4，y＝2时zmin＝2200.答案B5．(2011·重庆一诊)设实数x，y满足条件4x－y－10≤0，x－2y＋8≥0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则2a＋3b的最小值为()．A.256B.83C.113D．4解析由可行域可得，当x＝4，y＝6时，目标函数z＝ax＋by取得最大值，∴4a＋6b＝12，即a3＋b2＝1.∴2a＋3b＝2a＋3b·a3＋b2＝136＋ba＋ab≥136＋2＝256.答案A二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2012·成都月考)若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y＜3表示的平面区域内，则m＝________.解析由题意可得|4m－9＋1|5＝4，2m＋3＜3，解得m＝－3.答案－37．设x，y满足约束条件x＋2y≤4，x－y≤1，x＋2≥0，则目标函数z＝3x－y的最大值为________．解析由约束条件画出可行域如图．当直线3x－y＝0移至直线x＋2y＝4与直线x－y＝1的交点(2,1)时，目标函数z＝3x－y取得最大值等于3×2－1＝5.答案58．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab/万吨c/百万元A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________百万元．解析可设需购买A矿石x万吨，B矿石y万吨，则根据题意得到约束条件为：x≥0，y≥0，0.5x＋0.7y≥1.9，x＋0.5y≤2，目标函数为z＝3x＋6y，作图可知当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值，最小值为zmin＝3×1＋6×2＝15(百万元)．答案15三、解答题(共23分)9．(11分)用不等式组表示图中阴影部分表示的区域．解先求出四边形各边所在的直线方程如下AB：2x－11y＋17＝0，BC：2x－y－3＝0，CD：2x－11y＋67＝0，DA：2x－y＋7＝0.∴所求不等式组为2x－11y＋17≤0，2x－11y＋67≥0，2x－y－3≤0，2x－y＋7≥0.10．(12分)画出2x－3＜y≤3表示的区域，并求出所有正整数解．解先将所给不等式转化为y＞2x－3，y≤3.而求正整数解则意味着x，y还有限制条件，即求y＞2x－3，y≤3，x＞0，y＞0的整数解．所给不等式等价于y＞2x－3，y≤3.依照二元一次不等式表示平面区域可得如图(1)．对于2x－3＜y≤3的正整数解，再画出y＞2x－3，y≤3，x＞0，y＞0表示的平面区域．如图(2)所示：可知，在该区域内有整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)共五组．B级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知不等式组x＋y≤1，x－y≥－1，y≥0表示的平面区域为M，若直线y＝kx－3k与平面区域M有公共点，则k的取值范围是()．A.0，13B.－∞，13C.－13，0D.－∞，－13解析如图所示，画出可行域，直线y＝kx－3k过定点(3,0)，由数形结合，知该直线的斜率的最大值为k＝0，最小值为k＝0－13－0＝－13.答案C2．(2011·湖南)设m1，在约束条件y≥x，y≤mx，x＋y≤1下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为()．A．(1,1＋2)B．(1＋2，＋∞)C．(1,3)D．(3，＋∞)解析变换目标函数为y＝－1mx＋zm，由于m1，所以－1－1m0，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直线y＝－1mx＋zm在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A处取得最大值，由y＝mx，x＋y＝1，得A(11＋m，m1＋m)，所以目标函数的最大值是11＋m＋m21＋m2，即m2－2m－10，解得1－2m1＋2，故m的取值范围是(1,1＋2)．答案A二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2011·全国新课标)若变量x，y满足约束条件3≤2x＋y≤9，6≤x－y≤9，则z＝x＋2y的最小值为________．解析根据3≤2x＋y≤9，6≤x－y≤9得可行域如图所示；根据z＝x＋2y得y＝－x2＋z2，平移直线y＝－x2，在M点z取得最小值．根据x－y＝92x＋y＝3得x＝4y＝－5，此时z＝4＋2×(－5)＝－6.答案－64．已知变量x，y满足约束条件x＋4y－13≤0，x－2y－1≤0，x＋y－4≥0，且有无穷多个点(x，y)使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝________.解析由题意可知，不等式组表示的可行域是由A(1,3)，B(3,1)，C(5,2)组成的三角形及其内部．当m＞0时，z＝x＋my与x＋y－4＝0重合时满足题意，得m＝1，当m＜0时，z＝x＋my在点A处取得最小值不合题意，当m＝0时不合题意，综上，m＝1.答案1三、解答题(共22分)5．(10分)若a≥0，b≥0，且当x≥0，y≥0，x＋y≤1时，恒有ax＋by≤1，求以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积．解作出线性约束条件x≥0，y≥0，x＋y≤1对应的可行域如图所示，在此条件下，要使ax＋by≤1恒成立，只要ax＋by的最大值不超过1即可．令z＝ax＋by，则y＝－abx＋zb.因为a≥0，b≥0，则－1＜－ab≤0时，b≤1，或－ab≤－1时，a≤1.此时对应的可行域如图，所以以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的面积为1.6．(12分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童S这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足x≥0，y≥0，12x＋8y≥64，6x＋6y≥42，6x＋10y≥54，即x≥0，y≥0，3x＋2y≥16，x＋y≥7，3x＋5y≥27.让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在(4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．