二元一次方程的应用案例分析

二元一次方程的案例分析【课堂实录】【案例评析】二元一次方程组的应用是在学生学习了列一元一次方程解应用题和二元一次方程组解法的基础上学习的一个新的内容，它在实际生活中有着广泛的应用。在本节课的教学中，老师重视引导学生认真审题，注意找出题目中的已知数、未知数和表示应用题全部含义的相等关系。在教学中，注重转化思想的渗透：实际问题转化为数学问题，二元转化为一元。在第一环节“引入新课”中，老师首先演示学生上次春游的相片，“同学们还记得上次春游的欢乐时光吧！春天的脚步越来越近，同学们对春游的盼望也越来越急切，今天就让我带领大家提前走进春游活动，看看春游活动中发生了什么有趣的事情吧！”此情境的创设，引发学生的注意力，营造学习气氛，激发学生的探索热情。在第二环节“探究新知”中，老师以“租车”、“坐车途中讲故事”、“到达欢乐谷后同学们自由活动打扑克”、“买水果”、“买奖品”等5个不同实际问题为背景设置了5个例题，引导学生主动地参与教学活动，发扬教学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力，发展多角度思考问题的能力,培养学生严谨的思维方式和良好的学习氛围。在学习活动中获得成功感，树立自信心，并进一步形成对数学知识的理解，培养数学应用意识，体会将实际问题转化为数学问题和将二元方程组转化为一元方程的过程。我认为本节课有以下三个特点：1.教学目标明确、具体，符合《课程标准》的要求和学生的实际水平本节课老师确定了三个教学目标：（1）能正确分析实际问题中的数量关系，建立二元一次方程组模型并能解决实际问题。（2）经历把实际问题抽象为数学方程组的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，进一步体会数学建模思想，培养学生的数学应用意。（3）在探究学习中培养学生独立思考、自主探索、勇于创新的精神，通过合作交流，养成学生的合作互助意识，提高数学交流和数学表达能力。教学目标的确定体现了《课程标准》对学生在知识与技能、过程与方法方面的要求，也体现了《课程标准》对学生在数学思考、解决问题以及情感与态度等方面的要求。教学目标全面、具体、明确，符合《课程标准》、教材的要求和学生的实际。本节课的教学，老师紧紧围绕教学目标设计教学过程，紧密联系生活实际，精心设计问题情境，以学生亲身经历的学习生活中的实际问题为背景编制应用题，引导学生将实际问题转化为数学问题，将二元一次方程组转化为一元一次方程，用学过的知识加以解决。使所有学生既能参与，又有一定的拓展、探索的余地，全体学生在获得必要发展的前提下，不同的学生获得不同的体验。整个教学过程围绕教学目标层层展开，步步深入。从教学效果看，达到了预定的教学目标。2.教师营造了宽松和谐的学习氛围，使学生得到了良好的学习和情感体验为了充分调动学生学习的积极性，使学生主动愉快地学习，在教学方法上，老师采用了启发讲授、小组讨论、合作探究相结合的教学方式。在课堂教学过程中努力贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想。通过引导学生观察、分析和动手操作，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学全过程。在教学手段方面，选择多媒体课件辅助教学的方式，生动、有趣的多媒体课件一方面为学生在课堂教学中进行自主探究和发现新知提供了技术支持，另一方面为教师进行教学演示提供了平台，二者有机结合，协调发挥作用，使信息技术与教学内容有机整合，真正为教学服务。3.注重数学思想方法的渗透本节课的教学，老师始终有意识地渗透转化的思想方法，引导学生体验将“未知”转化为“已知”，将“实际问题”转化为“数学问题”的过程。在研究问题时，从开始就抓住问题中的已知数和未知数，把未知数放在与已知数平等的地位去分析研究，通过列方程组、解方程组，使未知数转化为已知数，这是列方程组解应用题的意义。使学生初步认识列方程组解应用题有时比列方程解应用题更有优越性。4.注重学法指导围绕本节课所学知识，设置有现实意义的、具有挑战性的问题，激发学生积极思考，引导学生自主探索与合作交流，既能在探索中获取知识，又能不断丰富数学活动的经验，学会探索，提高解决问题的能力，培养一定的创新意识和实践能力。通过课堂小结，增强学生学习过程中的反思意识，培养他们良好的学习习惯。【教学设计】二元一次方程组的应用教学目标：1.能正确分析实际问题中的数量关系，建立二元一次方程组模型并能解决实际问题。2.经历把实际问题抽象为数学方程组的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，进一步体会数学建模思想，培养学生的数学应用意识。3.在探究学习中培养学生独立思考、自主探索、勇于创新的精神，通过合作交流，养成学生的合作互助意识，提高数学交流和数学表达能力。教学重点：让学生经历和体验用方程组解决实际问题的过程，抓住实际问题的等量关系建立方程组模型。教学难点：在探究过程中分析题意，由相等关系正确地建立方程组；根据实际意义，确定分类的原则和未知数的取值范围。教学过程：一、引入新课（教师演示学生上次春游的相片）同学们还记得上次春游的欢乐时光吧！春天的脚步越来越近，同学们对春游的盼望也越来越急切，今天就让我带领大家提前走进春游活动，看看春游活动中发生了什么有趣的事情吧！（情境创设，引发学生注意力，营造学习气氛，激发探索热情。）二、探究新知例1初一年级准备组织师生外出春游，现向某租车公司租车，这个出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金每辆为320元，60座客车的租金每辆为460元.若初一年级同时租用这两种客车9辆，恰好9辆客车都坐满了，共付租金3720元，请你帮助计算一下这次共有多少人参加春游活动吗？解法1：设42座客车的有x辆，则60座客车的有（9-x）辆.由题意，得320x+460(9-x)=3720解得x=3初一师生总人数为32*3+60*6=456（人）答：这次共有456人参加春游。解法2：设42座客车的有x辆，60座客车的有y辆.由题意，得，解得，初一师生总人数为32*3+60*6=456（人）答：这次共有456人参加春游活动。早上8点，初一全体师生快快乐乐的出发了，数学罗老师坐在初一（6）班的车上，同学们一路上欢歌笑语，大家正在轮流讲故事，轮到罗老师了，她给大家讲了这样一个故事：例2《群鸦栖树》栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树；请你动脑筋，鸦树各几何？大意是：一群乌鸦落在一片树上，如果三个乌鸦落在一棵树上，那么就有五个乌鸦没有树可落；如果五个乌鸦落在一棵树上，那么就有一棵树没有落乌鸦。请问乌鸦和树各多少？解：设乌鸦有x只，树有y棵.由题意，得，解得.答：乌鸦有20只，树有5棵。说明：古今中外流传着许多歌谣趣题，题目新颖别致，魅力无限，不仅内容朗朗上口，而且需要具有一定的解题能力。1个多小时后，大家终于到达了春游的目的地----欢乐谷。下车后班主任吴老师将同学们集合在一起，一是强调安全问题和集合时间，二是请大家把游玩中优美的风景和有趣的画面用手中的数码相机记录下来，要进行一个班级摄影比赛。同学们分成不同的小组开始自由活动，有一个小组玩累了在公园的石桌石椅上打起牌来，不会玩牌的一位同学拿着大家出过的牌在石桌摆起了图形：例3八张扑克牌恰好可拼成一个大的长方形(图1)，用同样的这八张牌可拼成一个大正方形，但中间留下一个边长为2cm的小正方形(图2)。你能算出每张扑克牌的长和宽吗？解法1：设扑克牌的宽为x厘米，长为y厘米。由题意，得，解得.答：扑克牌的宽为6厘米，长为10厘米。解法2：面积法：设扑克牌的宽为x厘米，长为y厘米。由题意，得由第二个方程得：8xy=4x2+4xy+y2-4；4x2-4xy+y2=4；（2x-y）2=22，有图中可知：2x〉y，所以2x-y=2，下面的过程和解法1相同。初一学生目前还没有学习一元二次方程的解法，教师可以引导学生列方程组，但不解方程组。说明：通过三个例题的分析后，引导学生发现解决问题的方法，把实际问题转化为二元一次方程组解决.同时请对比用二元一次方程组或一元一次方程解应用题的区别和联系。整整玩了一天，到了返回学校的时间了.大家恋恋不舍的离开了欢乐谷，回来的车上，我们班的生活委员李骥琪和雷明阳开始给同学们分发用班费购买的水果--香蕉，杨宏业同学还挺关心班级的事务，一边吃一边问：“买了多少斤香蕉啊？花了多少班费啊？”生活委员一看提问的是特喜欢数学的他，准备考考他，就把购买的经过大致说了一遍，要求杨宏业在5分钟内回答下面问题：例4表格信息型：某水果批发市场香蕉的价格如下表：购买香蕉数（千克）不超过20千克20千克以上但不超过40千克40千克以上每千克价格6元5元4元生活委员两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，请问生活委员第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？解：设生活委员第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克.由题意可知0＜x＜25。（1）当0＜x≤20，y≤40时，由题意得，解得（2）当0＜x≤20，y＞40时，由题意得解得（不合题意，舍去）。（3）当20＜x＜25，25＜y＜30时，此时生活委员用去的款项为5x+5y=5(x+y)=5×50=250＜264.（不合题意，舍去）。综合（1）、（2）、（3）可知生活委员第一次购买香蕉14千克，第二次购买香蕉36千克。说明：本题利用表格给出相关数据，代替了繁琐的语言叙述，同学们可以简捷直观地获取信息，寻求等量关系，设出未知数，建立方程组求解.通过加深问题难度，巩固应用一元一次不等式二元一次方程组解决实际问题的方法，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力，同时培养学生分类讨论的数学思想。香蕉吃完了、生活委员出的数学问题也解决了，学校也快到了。班主任吴老师提醒大家回家把今天拍的照片整理整理，下个星期交上来进行一个“欢乐春游行”的班级摄影评比活动，获奖同学不但有奖品，他们的作品还将推荐参加学校艺术节的摄影比赛.买奖品的任务落在了班长陈斯的身上：例5初一（6）班计划用100元购买单价分别为4元、3元、1元的甲、乙、丙三种奖品，作为“欢乐春游行”的班级摄影评比活动的奖品。如果甲种奖品不得少于10件，乙种奖品比甲种奖品多3件，并且购买甲种奖品的总金额不得超过50元，那么适合以上要求的购买方案有几种？请你协助班长陈斯制订购买奖品的方案。提示：设甲x件，乙y件，丙z件，根据题意得，其中x，y，z为正整数。共有三种方案：方案1：甲10件，乙13件，丙21件；方案2：甲11件，乙14件，丙14件；方案3：甲12件，乙15件，丙7件。通过设置统一情境下5个不同方面的实际问题，引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力，发展学生多角度思维能力,培养学生严谨的思维方式和良好的学习氛围，在学习活动中获得成功感，树立自信心，并进一步形成对数学知识的理解，培养数学应用意识，体会将实际问题转化为数学问题的过程。三、课堂小结本节课——我学会了……使我感触最深的是……我感到最困难的是……学生各抒己见，谈出自己本节课的收获、感想。让学生在学习中体会学习方法，体验成功，改进不足，以便今后更好地学好数学。教师在学生发言的基础上归纳总结利用二元一次方程组解决实际问题的过程：通过师生共同完成知识整合的过程，体会把实际问题转化为数学方程组的过程，感受方程组是刻画现实世界的有效数学模型，进一步体会数学建模思想，问题转化思想和分类讨论思想.生活中处处有数学的影子，只要留心观察身边的事物，开动脑筋，就能用数学知识解决许多的生活实际问题。四、布置作业课本第52页习题6-3第4--6题。通过课后作业，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况，知识延伸，使学生能力得以提高。板书设计：课后记：