二元函数偏导数的应用

§7.5二元函数偏导数的应用在几何上的应用二元函数极值的求法小结思考与练习1.空间曲线的切线与法平面的参数设空间曲线L方程为)()()(tztytxozyxMM为零。的导数存在，且不同时数对这里假定上式的三个函t000000),,,(ttzyxMttL它对应于参数的一点上取对应于在曲线在几何上的应用即)()()(000000tztytx），的坐标为（上的点时，对应于曲线当zzyyxxMLttt0000,,的方程为则割线MM0zzzyyyxxx000在的极限位置就是曲线时，割线趋近于沿曲线当MMMMLM00即令遍除割线方程的分母，的切线，因此，用点,00ttM的切线方程得曲线在点0M)()()(000000tzztyytxx就是）（向量。向量的切切线方向向量称为曲线)(),(,000tttT处的一个切向量。在点曲线ML000MLMM在点曲线处切线垂直的平面称为而与点通过点为法向量的平面，）而以（点处的法平面，它是通过LzyxM0000,,因此这法平面的方程为0))(())(())((000000zztyytxxt例1方程处的切线方程和法平面在求曲线1,,032ttztytx解1,1,110000zyxt时，当3)1(,2)1(,1)1(zyx于是，切线方程为312111zyx法平面方程为0)1(3)1(2)1(zyx2.曲面的切平面方程与法线方程是曲面给出，由方程设曲面),,(0),,(0000zyxMzyxF连续且不同时在点的偏导数上的一点，并设函数0,,),,(MFFFzyxFzyx方程点的一条任意曲线，其为位于上述曲面上且过为零，设0ML为)()()(tzztyytxx在曲面上，故由于曲线L0))(),(),((tztytxF),(),(),(,0000000tzztyytxxtM即的参数值为若相应于点处有求导数，则在点式对将0)5.7(Mt0)(),,()(),,()(),,(000000000000tzzyxFtyzyxFtxzyxFzyx与曲上式表示),,(),,,(),,,(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx0000)(),(),(MtztytxT过点垂直，所以在曲面上通线的切向量上。这个平面称为的切线都在同一个平面的一些曲线在点0M切平面的方程是曲面在点的切平面。这0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx为曲面在该点而垂直于平面的直线称通过点),,(0000zyxM的法向量。向量切平面的向量称为曲面的法线。垂直于曲面上),,(),,,(),,,(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx处的一个法向量。就是曲面在点0M例2程的切平面方程与法线方在点求曲面)4,1,2(122yxz解2)1,2(,4)1,2(,2,2yxyxzzyzxz的切平面方程为所以曲面在点)4,1,2(0)4()1(2)2(4zyx或024zyx法线方程为142142zyx1、二元函数的极值二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。定理7.7(极值存在必要条件)在点设函数),(yxfz）处有极值，则它在该具有偏导数，且在点（00000,),(yxyxP点的偏导数必然为零0),(00yxfx0),(00yxfy使,0),(00yxfx0),(00yxfy的驻点。称为函数同时成立的点),(),(00yxfyx二元函数极值的求法定理7.8（极值存在充分条件）在点设函数),(yxfz又阶及二阶连续偏导数，的某邻域内连续且有一),(000yxP0),(,0),(0000yxfyxfyx令CyxfByxfAyxfyyxyxx),(,),(,),(000000如下处是否取得极值的条件在则),(),(00yxyxf0),(0)1(02APyxfACB处取得极值，且当在点时，函数时有极小值；时有极大值，当0A处没有极值；在点时，函数02),(0)2(PyxfACB论。没有极值，还需另作讨时可能有极值，也可能0)3(2ACB),(,2.1yxfz导数的函数我们把具有二阶连续偏利用定理的极值的求法总结如下第一步求出所有的驻点解方程组,0),(0),(yxfyxfyx第二步求出二阶偏导数的值对于每一个驻点),,(00yxCyxfByxfAyxfyyxyxx),(,),(,),(000000第三步),(2002yxfACB的结论判定的符号，按定理定出还是极小值是否有极值、是极大值例3的极值求函数61065),(22yxyxyxf解（1）求驻点1010),(,62),(yyxfxyxfyx由于解方程组01010062yx），即得驻点（13（2）判断驻点是否极值点，若是，说明取得极值情况又由于0)1,3(,02)1,3(xyxxfBfA020,10)1,3(2ACBfCyy.8)1,3()1,3(),(fyxf取得极小值，极小值为在故2.条件极值与拉格朗日乘数法在前面所讨论的极值中，除对自变量给出定义域外，并无其它条件限制，我们把这一类极值称为无条件极值，而把对自变量还需附加其他条件的极值问题称为条件极值。条件条件极值问题有如下两种解法。方法1使二元函数的再代入中解出从),,(0),(yxfyyx数的无条件极值问题。条件极值转化为一元函例4下的极值在条件求二元函数8222yxxyyxz解zxyyx代入得由,8,8128404)8()8(2222xxxxxxz由一元函数极值存在的必要条件，得0408xdxdz所以5xxyyxzyxdxzd22222)3,5(,3585,08为二元函数时，当因为288下极小值点，极小值为在条件yx方法2（拉格朗日数乘法）在附加条件要找函数),(yxfz构成辅助函数下可能极值点，可以先0),(yx),(),(),(yxyxfyxF的一阶偏导数，并使之与为一常数。求其对其中yx联立起来为零，然后与方程0),(yx0),(0),(),(0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx),(,,yxfyxyx就是函数，则其中及由这方程组解出。下的可能极值点的坐标在附加条件0),(yx这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。至于如何确定所求得的点是否为极值点，是极大值点还是极小值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。例5而体积最大的长方体。求表面积为2a解，则体积是分别为设长方体的长、宽、高zyx,,0222),,(,),,(2azxyzxyzyxxyzzyxf附加条件为作辅助函数),(),(),,(yxyxfzyxF)222(2azxyzxyxyz令0)(2zyyzFx0)(2xzzxFy0)(2yxxyFz由前三式，得zyx代入第四式，得6azyx即当长方体的长、宽、高相等时，长方体的体积最大。注:求二元函数极值的方法(1)换元法。(2)拉格朗日数乘法。作业P142习题18习题19习题21