专题三高考数列命题动向

专题三高考数列命题动向高考命题分析数列是高中数学的重要内容之一，是衔接初等数学与高等数学的桥梁，在高考中的地位举足轻重，近几年来的新课标高考都把数列作为核心内容来加以考查，并且创意不断，常考常新．了解高考中数列问题的命题规律，掌握高考中关于数列问题的热点题型的解法，针对性地开展数列知识的复习和训练，对于在高考中取得理想的成绩具有十分重要的意义．高考命题特点在新课标高考中，数列内容的主要考点包括三个方面：一是数列的有关概念；二是等差数列的定义、通项公式与前n项和公式；三是等比数列的定义、通项公式与前n项和公式．其中，数列的有关概念是了解级要求，等差数列和等比数列一般是掌握级要求．根据《考试说明》中“重视数学基本能力和综合能力的考查”的精神，高考对数列的考查呈现出综合性强、立意新、难度大的特点，注重在知识交汇点处设计试题，如常常与函数、方程、不等式、三角变换、解析几何、导数、推理与证明等内容有机地结合在一起，既重视对数列的基础知识的考查，又突出对数学思想方法和数学能力的考查．等差、等比数列是一个重要的数列类型，高考命题主要考查等差、等比数列的概念、基本量的运算及由概念推导出的一些重要性质，灵活运用这些性质解题，可达到避繁就简的目的．解决等差、等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a1和d的方程(组)；②巧妙运用等差、等比数列的性质．高考动向透视等差、等比数列的基本运算【示例1】►(2011·江西)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝()．A．18B．20C．22D．24解析由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.故选B.答案B本小题主要考查等差数列的通项、性质、前n项和以及数列的通项和前n项和的关系，解题的突破口是由S10＝S11得出a11＝0.【训练】(2011·天津)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为()．A．－110B．－90C．90D．110解析因为a7是a3与a9的等比中项，所以a27＝a3a9，又因为公差为－2，所以(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20，通项公式为an＝20＋(n－1)(－2)＝22－2n.所以S10＝10a1＋a102＝5×(20＋2)＝110，故选D.答案D等差、等比数列的判定通常作为解答题的第1问来考查，一般用下面的基本方法来判定：①利用定义：an＋1－an＝常数，或an＋1an＝常数；②利用中项的性质：2an＝an－1＋an＋1(n≥2)或a2n＝an－1an＋1(n≥2)．等差、等比数列的判定【示例2】►(2011·银川模拟)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明∵an＋2＝3an＋1－2an，∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∵a1＝1，a2＝3，∴an＋2－an＋1an＋1－an＝2(n∈N*)．∴{an＋1－an}是以a2－a1＝2为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)得an＋1－an＝2n(n∈N*)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1(n∈N*)．本题主要考查等比数列的判定及数列求和，同时考查推理论证能力及转化化归能力．数列的求和是高考重点考查的内容，也是考纲明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即问题的解答常用的方法可以归纳为几种．因此，考生有效地化归问题是正确解题的前提，合理地构建方法是成功解题的关键，正确的处理过程是制胜的法宝，这部分内容在高考中既有以选择题、填空题形式的简单考查，也有以解答题重点考查的情况出现．数列求和主要是分析通项，然后根据通项选择相应的求和方法．有关数列求和的考查【示例3】►(2011·新课标全国)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列1bn的前n项和．解(1)设数列{an}的公比为q.由a23＝9a2a6得a23＝9a24，所以q2＝19.由条件可知q＞0，故q＝13.由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝13.故数列{an}的通项公式为an＝13n.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－nn＋12.故1bn＝－2nn＋1＝－21n－1n＋1.1b1＋1b2＋…＋1bn＝－21－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝－2nn＋1.所以数列1bn的前n项和为－2nn＋1.本题主要考查等比数列的通项公式、数列求和及对数运算．考查灵活运用基本知识解决问题的能力、运算求解能力和创新思维能力．对于通项公式，可以利用基本量求出首项和公比；对于数列求和，可通过对数运算求出bn，然后利用裂项求和．数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前n项和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题．主要考查考生的推理论证能力和分析、解决问题的能力、以及转化化归的思想和数学素养．有关数列与不等式的综合考查【示例4】►(2011·浙江)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)，且1a1，1a2，1a4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)对n∈N*，试比较1a2＋1a22＋1a23＋…＋1a2n与1a1的大小．解(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意可知1a22＝1a1·1a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，从而a1d＝d2.因为d≠0，所以d＝a1＝a.故通项公式an＝na.(2)记Tn＝1a2＋1a22＋…＋1a2n，因为a2n＝2na，所以Tn＝1a12＋122＋…＋12n＝1a·121－12n1－12＝1a1－12n.从而，当a＞0时，Tn＜1a1；当a＜0时，Tn＞1a1.本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式、等比数列的求和等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力．【训练】已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*满足关系式2Sn＝3an－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝1log3an·log3an＋1，前n项和为Tn，求证：对于任意的正数n，总有Tn＜1.(1)解由已知得2Sn＝3an－3，2Sn－1＝3an－1－3(n≥2)．故2(Sn－Sn－1)＝2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1(n≥2)．故数列{an}为等比数列，且公比q＝3.又当n＝1时，2a1＝3a1－3，∴a1＝3，∴an＝3n.(2)证明∵bn＝1nn＋1＝1n－1n＋1.∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＜1.以等差数列、等比数列为载体，考查函数与方程、等价转化和分类讨论等数学思想方法，是新课标高考数列题的一个重要特点，因试题较为综合，故难度一般较大．考查数列的综合问题【示例5】►(2011·天津)已知数列{an}与{bn}满足bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝3＋－1n－12，n∈N*，且a1＝2.(1)求a2，a3的值；(2)设cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，证明{cn}是等比数列；(3)设Sn为{an}的前n项和，证明S1a1＋S2a2＋…＋S2n－1a2n－1＋S2na2n≤n－13(n∈N*)．(1)解由bn＝3＋－1n－12，n∈N*，可得bn＝2，n为奇数，1，n为偶数.又bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，当n＝1时，a1＋2a2＝－1，由a1＝2，可得a2＝－32；当n＝2时，2a2＋a3＝5，可得a3＝8.(2)证明对任意n∈N*，a2n－1＋2a2n＝－22n－1＋1，①2a2n＋a2n＋1＝22n＋1.②②－①，得a2n＋1－a2n－1＝3×22n－1，即cn＝3×22n－1，于是cn＋1cn＝4.所以{cn}是等比数列．(3)证明a1＝2，由(2)知，当k∈N*且k≥2时，a2k－1＝a1＋(a3－a1)＋(a5－a3)＋(a7－a5)＋…＋(a2k－1－a2k－3)＝2＋3(2＋23＋25＋…＋22k－3)＝2＋3×21－4k－11－4＝22k－1，故对任意k∈N*，a2k－1＝22k－1.由①得22k－1＋2a2k＝－22k－1＋1，所以a2k＝12－22k－1，k∈N*.因此，S2k＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2k－1＋a2k)＝k2.于是，S2k－1＝S2k－a2k＝k－12＋22k－1.故S2k－1a2k－1＋S2ka2k＝k－12＋22k－122k－1＋k212－22k－1＝k－1＋22k22k－k22k－1＝1－14k－k4k4k－1.所以，对任意n∈N*.S1a1＋S2a2＋…＋S2n－1a2n－1＋S2na2n＝S1a1＋S2a2＋S3a3＋S4a4＋…＋S2n－1a2n－1＋S2na2n＝1－14－112＋1－142－24242－1＋…＋1－14n－n4n4n－1＝n－14＋112－142＋24242－1－…－14n＋n4n4n－1≤n－14＋112＝n－13.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，难度较大．