专题九指数指数函数导数运算

指数与导数运算1、复合函数：已知函数u=g(x)，定义域为M，值域为N，函数y=f(u)，定义域为N；y通过u构成x的新函数y=f[g(x)]，称y为x的复数函数，其中u为中间变量。如：u=g(x)=3x+1,y=f(u)=sinu，则y=f[g(x)]=sin(3x+1)2、复合函数的求导法则若u=g(x)在x处可导，y=f(u)在x的对应点u处可导y′u=f′(u)，则y=f[g(x)]在点x可导，且y′x=y′u·u′x，即f[g(x)]′=f′(u)·g′(x)。即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘中间变量对自变量的导数。如，y=sin(3x+1)，其中，y=sinu,u=3x+1∴y′x=y′u·u′x=cosu(3x+1)′=3cos(3x+1)3、运用复合函数的求导法则要注意：准确判断复合函数的复合关系是用好法则的前提。应该从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经有限次四则运算而得到的函数。4、指数、对数函数求导公式，不要求掌握推导过程，只要求会运用公式。[典型例题]例1．求y=(2x+1)5的导数。解：设y=u5,u=2x+1，则yx′=yu′·ux′=(u5)′·(2x+1)′x=5u4·2=5(2x+1)4·2=10(2x+1)4。点评：①准确分清复合函数的结构层次如y=f(x)=2x+1，y=g(x)=x5则y=f[g(x)]=2x5+1,y=g[f(x)]=(2x+1)5是不同的函数。②复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对经过多次复合及四则运算而形成的复合函数，可以直接应用公式和法则，以最外层开始由外及内，逐层求导。例2．求的导数。解：，设，u=2x+1,∴.点评：将根式与分式形式写成分数指数与负指数形式，转化为幂函数的复合形式求导，会使问题得到简化，注意这种识别与转化。如：，。例3：求导①②解：方法1：①令y=lnu,,∴.方法2：先将商的对数化为对数的差y=ln(1+3x2)-ln(2-x2)∴.②方法1：令y=lnu,,∴.方法2：原函数定义域为-1x1.∴.点评：①先将函数化简，再求导会简化运算过程②化简函数时，要注意保证等价变形（即函数的定义域不能改变）例4：已知f(x)在R上可导，F(x)=f(x2-4)+f(4-x2)，求F′(2)。解：F′(x)=2xf′(x2-4)-2xf′(4-x2)∴F′(2)=4f′(0)-4f′(0)=0。例5：证明：可导的奇函数其导函数是偶函数证明：方法一：运用导数的定义来证，f′(-x)=f′(x)∵f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x)∴。方法二：用复合函数求导法则∵f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x)两边对x求导，得f′(-x)·(-x)′=-f′(x)即-f′(-x)=-f′(x)∴f′(-x)=f′(x)。例6：求导：(1)y=2x·ex(2)(3)解：(1)y′=2xln2·ex+2x·ex=(ln2+1)·2x·ex.(2),令y=an,,∴.(3).点评：(1)在y=2x·ex求导中，有同学写成即将乘法运算与复合运算混淆。(2)在求导中，有同学先化为后，。错在将指数函数y=ax(a为常数)与幂函数y=xn(n为常数)混淆。例7：已知0x1，求的导数。解：y0，两边取对数得∵y是x的函数，由复合函数的求导法则对上式两边求导，得：∴,∵,∴.点评：本题可利用求导的四则运算法则予以求导，本题利用取对数法求导，好在可以把积商求导化为较简单的和、差求导，把幂和根式的求导问题简单化。但运用此法时，要注意可以取对数的条件。例8：y=(tanx)sinx解：