专题六函数与几何小综合

专题六：反比例函数、一次函数与几何综合导学案一、【学习目标】：1.能明确考点要求:能根据条件求函数的表达式，并运用性质解题；2.能掌握解题策略：分析题意---观察图象---寻找特征点的坐标---建模求解---应用3.能领会思想方法：化归；建模；分类讨论；待定系数法；数形结合。二、【知识要点】：1.一次函数的解析式为y=kx+b，反比例函数的解析式为y=k/x（k≠0）；2.若点在函数的图象上，则点的坐标必满足函数的解析式；3.几何图形的性质。4.解决问题的策略：运用“联想与转化”---联想所涉及到的知识要点和有关的概念和性质，对所给已知条件和图形进行观察分析，把“已知”向“可知”转化，把“未知”向“须知”转化，把几何线段的长度转化为点的坐标或把点的坐标转化为线段的长度，把求待定系数问题转化为解方程的问题；把取值范围问题转化为图像的位置或解不等式的问题；三、【例题讲解】：例1.（温州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B，与反比例函数y=m/x在第一象限的图象交于点C(1，6)、点D(3，ｎ)．过点C作CE⊥y轴于E，过点D作DF⊥ｘ轴于F．(1)求m，n的值；(2)求直线AB的函数解析式；(3)求证：△AEC≌△DFB．【考点】双曲线与直线的交点问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，全等三角形的判定。【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，先将C(1，6)代入y=m/x求出ｍ；再将D(3，ｎ)代入求出的双曲线解析式求出ｎ。（2）由点C(1，6)、点D(3，2)在直线AB上，用待定系数法求出即可。（3）求出点A、B的坐标，根据ASA证明△AEC≌△DFB。变式：1)P在双曲线上，PQ⊥ｘ轴于Q，若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，求点P的坐标。2)求△OCD的面积。例2.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OCD的一边OC在x轴上，∠C=90°，点D在第一象限，OC=6，DC=8，反比例函数的图象经过OD的中点A．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若该反比例函数的图象与Rt△OCD的另一边DC交于点B，求过A、B两点的直线的解析式．分析：（1）易得D点坐标为（6，8），得到OD的中点A的坐标为（3，4），利用待定系数法求反比例函数的解析式；（2）令x=6，则y=12/6=2，确定B点坐标，然后利用待定系数法求直线AB的解析式．分析：（1）由E的坐标可得OA=4，tan∠BOA=1/2可以求AB的值；（2）先求点D的坐标，再求k,n(3)先求F的坐标，得到CF的长度，在△CFG中由勾股定理可以求出OG变式(1)在坐标轴上求一点P,使△POF为Rt△(2)若Q的坐标为（2，t）当t为何值时QB+QE最小四、【巩固训练】：1.(2012•乐山）如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数y=k/x（x＞0）（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2．（1）求k的值；（2）点N（a，1）是反比例函数图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2.（(2012•丽水)如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y＝(k＞0)经过边OB的中点C和AE的中点D．已知等边△OAB的边长为4．(1)求该双曲线所表示的函数解析式；(2)求等边△AEF的边长．1.（2011广西桂林3分）双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，y1=4/x，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB=1，则y2的解析式是．2.（遵义）如图，已知双曲线y1=1/x(x0)，y2=4/x(x0)，点P为双曲线y2=4/x上的一点，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA、PB分别交双曲线y1=1/x于D、C两点，则△PCD的面积为．3.（2012山东泰安）如图，一次函数ykxb的图象与坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数myx的图象在第二象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，△AOB的面积为1，一次函数与反比例函数的解析式为；当x0时，0mkxbx的解集为。4.如上右图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，OA=2，OC=3，E是AB的中点，反比例函数图象过点E且和BC相交于点F．（1）求直线OB和反比例函数的解析式；（2）求四边形OEBF的面积．5.（2011江苏镇江10分）在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A(1,0)且与y轴平行，直线l2过点B(0,2)且与x轴平行，直线l1与直线相l2交于点P。点E为直线l2上一点，反比例函数y=k/x（k＞0）的图像过点E与直线l1相交于点F。⑴若点E与点P重合，求k的值；⑵连接OE、OF、EF。若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；6.2011山东烟台）如图，已知反比例函数11kyx（k1＞0）与一次函数2221(0)ykxk相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C.若△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝2.（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值？（3）在x轴上求一点P，使△PAC与△AOC相似，直接写出P的坐标。7.如图，已知反比例函数y=k/x图象的一支曲线经过矩形OABC的边AB、BC的中点E、F，且四边形OEBF的面积为4．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点（m，a）、（n，b）是这个反比例函数图象的上两点，且m＜n，试确定a、b的大小．8．如图，正比例函数y=1/3x的图象与反比例函数y=k/x的图象交于A、B两点，点A的横坐标为6．（1）求反比例函数的表达式；（2）点P为此反比例函数图象上一点，且点P的纵坐标为4，求△AOP的面积．9.（广西北海）如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，BC在x轴上，一次函数y=kx-2的图象经过点A、C，并与y轴交于点E，反比例函数y=m/x的图象经过点A．(1)求点E的坐标；(2)求一次函数和反比例函数的解析式；(3)根据图象写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．10.（2011•临沂）一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx的图象相较于A（2，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b+mx＞0的解集；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．（4）在x轴上是否存在点P，使AP⊥AB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．6题图3题图1题图2题图（3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF①当k＜2时，如图2，只能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H,∵△FHM∽△MBE，∴,BMEMFHFM∵FH＝1，EM＝PE＝1－2k，FM＝PF＝2－k，∴112,122kBMBMk。在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2＋MB2，∴（1－2k）2＝（2k）2＋（12）2解得k＝34，此时E点坐标为（38，2）。②当k＞2时，如图3，只能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，BMEMFQFM。∵FQ＝1，EM＝PF＝k－2，FM＝PE＝2k－1，∴2112BMkBMk=2，在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2＋MB2∴（k－2）2＝（2k）2＋22，解得k＝163或0，但k＝0不符合题意，∴k＝163．此时E点坐标为（83，2）∴符合条件的E点坐标为（38，2）（83,2）．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点A坐标为（0，2），tan∠ACO=2．一次函数y=kx+b的图象经过点B、C，反比例函数y=m/x的图象经过点B．（1）求一次函数和反比例函数的关系式；（2）直接写出当x＜0时，kx+b-m/x＜0的解集；（3）在x轴上找一点M，使得AM+BM的值最小，并求出点M的坐标和AM+BM的最小值．