专题十二最不利原则

专题十二最不利原则在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题。解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手：1.着眼于极端情形；2.分析推理——确定最值；3.枚举比较——确定最值；4.估计并构造。常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。例1口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？分析与解答：如果碰巧，可能你一次取出的4个小球的颜色都相同。但显然，仅仅摸出4个小球，并不能保证它们的颜色相同，因为它们的颜色也可能不相同。因此，为了“保证至少有4个小球颜色相同”，我们就要从最“不利”的情况出发来考虑。如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。“最不利”的情况是什么呢？它就是我们俗话说的运气最差的情况，实际总是与所希望的相反。那么，在这里，什么样的情况最“惨”呢？那就是我们摸出了3个红球、3个黄球和3个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同色。为什么说这就是最不利的了呢？因为这时我们接着再摸出一个球的话，无论是红色还是黄色或者蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。所以，一次最少摸出10个球，才能保证至少有4个小球颜色相同。由此我们看到了，最不利原则就是从“极端糟糕”、从“运气最差”的角度来考虑问题。什么样的情况我们要用最不利原则来考虑呢？那就是题目中出现要“保证……”时，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况去分析问题。例2口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。现在一次从中任意取出几个，为保证这几个小球至少有5个同色，那么最少要取多少个？分析与解答：与上例类似，这也要从“最不利”的情况考虑。最不利的情况是什么呢？是取了3个红球、4个黄球和4个蓝球，共11个。此时袋中只剩下黄球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄球还是蓝球，都可以保证有5个球颜色相同。因此，所求的最小值是12。例3一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？分析与解答：最不利的情形、拿出第一把钥匙试了9把锁都不对，这时不用再试，这把钥匙必定是剩下的最后一把锁的。即第一把锁最不利的情况是试验了9次。同理，第二把钥匙最不利的情形是前8次都没打开，即试了8次。……所以，要使全部的钥匙和锁相匹配，最不利的情形共要试验、9＋8＋7＋…＋2＋1＝45次。例4在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？分析与解答：一副扑克牌有大、小王牌各1张，“红桃”、“黑桃”、“方块”、“梅花”四种花色各13张，共计有54张牌。最不利的情形是、取出四种花色中的三种花色的牌各13张，再加上2张王牌。这41张牌中没有四种花色。剩下的正好是另一种花色的13张牌，再抽1张，四种花色都有了。因此，最少要拿出42张牌，才能保证四种花色都有。练习一1．有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗混放在口袋里,为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子,一次至少要取多少颗？如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各2颗,那么一定至少要取出多少颗？2一付扑克牌共有54张(包括大王、小王),至少从中取多少张牌,才能保证其中必有3种花色？3．在一付扑克牌中（54张），最少要拿出多少张，才能保证在拿出的牌中四种花色都有？4．在一个口袋中有10个黑球、6个白球、4个红球。问：至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？5．口袋中有三种颜色的筷子各10根，问：（1）至少取多少根才能保证三种颜色都取到？（2）至少取多少根才能保证有2双颜色不同的筷子？（3）至少取多少根才能保证有2双颜色相同的筷子？6．袋里有红、白、蓝、黑四种颜色的单色球，从袋中任意取出若干个球。问：至少要取出多少个球，才能保证有3个球是同一颜色的？7．一只鱼缸里有很多条鱼，共有五个品种。问：至少捞出多少条鱼，才能保证有5条相同品种的鱼？8．某小学五年级的学生身高（按整数厘米计算），最矮的是138厘米，最高的是160厘米。如果任意从这些学生中选出若干人，那么，至少要选出多少人，才能保证有5人的身高相同？9．一把钥匙只能打开一把锁，现有10把锁和其中的8把钥匙，要保证将这8把钥匙都配上锁，至少需要试验多少次？10．要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒子中，每个盒子最多可以装5个乒乓球。证明：至少有5个盒子中的乒乓球数目相同。专题十三加法原理与乘法原理1．加法原理例1一个口袋中装有8个小球，另一个口袋中装有5个小球，所有这些小球的颜色各不相同。从两个口袋中任取一个小球，共有多少种不同的取法？分析：在两个口袋中任取一个小球有两类办法，第一类办法是从装有8个小球的口袋中任取一个，可以有8种取法。第二类办法是从装有5个小球的口袋中任取一个，可以有5种取法。根据加法原理，得到不同取法的种数是：5＋4=9（种）答：从两个口袋中任取一个小球可以有9种不同的取法。例2从甲村到乙村有2条路可走，从乙村到丙村有3条路可走，从甲村到丙村有4条路可走，问甲村到丙村共有多少种不同的走法？分析：从甲村到丙村可按两类办法完成，第一类办法是从甲村经过乙村到达丙村，这类办法是分两个步骤进行的：第一步从甲村到乙村有2种走法；第二步由乙村到丙村有3种走法，这两步缺一不可，根据乘法原理，这类办法中共有2×3＝6（种）走法。第二类办法是从甲村直接到达丙村，有4种走法，于是根据加法原理得到从甲村到达丙村的不同走法的种数是2×3＋4＝10（种）。答：从甲村到达丙村共有10种不同的走法。练习一1．某火车站，上站台有电梯2部，自动梯1部，扶梯3部。试问上站台有多少种不同的走法？2．一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有多少种？3．某人有一个5分币、四个2分币、八个1分币。现在要拿出8分钱，有几种不同的拿法？4．书架上有6本不同的画报和7本不同的书。每次取一本看，有多少种取法？5．甲地到乙地，一天中三班汽车、二班火车，还有一班飞机。这一天从甲地到乙地有多少种不同的走法？6．从甲地到乙地，可以乘火车，也可乘轮船，还可以乘飞机。在一天中，从甲地到乙地有4班火车，2班轮船，1班飞机。那么在一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？7.如图1，其中有7个点和10条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过，问：这只甲虫最多有几种不同走法？图1图28.如图2，一只小甲虫从A点出发沿着线段爬到B点。要求任何点和线段都不重复经过，问这只甲虫有多少种不同的走法？9．十把钥匙开十把锁，但钥匙已经搞乱了，问最多试多少次即可将钥匙和锁配起来？10．10名围棋手举行单循环赛（每两名选手都要比赛一次），共要安排多少盘比ABCD赛？11.在两位整数中，十位数字小于个位数字的共有多少个？12．从1—9这九个数中,每次取2个数,这两个数的和必须大于10,能有多少种取法？13．20名同学进行象棋比赛，规则是输的人不能再上场比赛（即淘汰赛）。问决出冠军，要赛多少盘？14．从0，1，2，…，9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法有多少种。15．把全部三位正整数同时印刷出来，“0”这个铅字需要多少个？16．小明为了练习加法,做了分别写着1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数的卡片放在右边的抽屉里,又做了同样的十张放在左边的抽屉里,然后每次从两个抽屉各取一张卡片做加法,这样一共可以组成多少个不同的算式,其中和为偶数的情况有几种?(1+2和2+1算作同一种算式)17．一平面上有15个点，每两点之间可作一条直线。如果没有三点或三个以上的点在同一条直线上，那么这15个点之间可连成多少条直线？18．在一个十二边形中，可作出多少条对角线？2．乘法原理从甲地到乙地有3条不同的道路，从乙地到丙地有2条不同的道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法？从图28—1可以看出，要从甲地经乙地到丙地必须分成两步，第一步是从甲地到乙地，有3种不同的走法，第二步是从乙地到丙地，有2种不同的走法，那么从甲地经乙地到丙地共有不同走法：3×2=6（种）这个简单的问题反映了一个重要的原理：例1书架上有6本不同的画报、10本不同的科技书，请你每次从书架上任意取一本画报、一本科技术，共有几种不同的取法？解：第一步，取一本画报，有6种方法；第二步，取一本科技书，有10种方法。根据乘法原理，一共有6×10=60（种）不同取法答：共有60种不同的取法。练习二1．王英、赵明、李刚三人报名参加校运动会的跳高、跳远、100米跑和垒球四项中的一项比赛，问报名的结果会出现多少种不同的情形？2．王芳有四件上衣、三条裤子，两双皮鞋，她能有多少天穿戴装束不同？3．一座房屋有四个门分别为A、B、C、D，从某一个门进，又从其它的门出的方法共有多少种？完成下列的树状图。4．商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有多少种？5．从写有1，2，3，…，9九张数字的卡片中，抽出两张数字和为奇数的卡片，共有多少种不同的抽法。6.个学校进行围棋比赛，双方各出5名男队员和3名女队员。（1）每一方的一名队员都要和另一方的每一个队员进行一场比赛，一共要进行多少场比赛？（2）若一方的男队员和另一方的男队员，一方的女队员和另一方的女队员都赛一场，（男队员与女队员之间不进行比赛），一共要比赛多少场？7.一天中午，某学生食堂供应4种主食、6种副食，小明到食堂吃饭，主、副食各选一种，问他有多少种不同的选项？8.某班的小图书室，有不同的文艺书80本，不同的自然科学书120本，如果从这两类图书中各借一本，共有多少种借法？9．用一张10元、一张5元、一张2元、一张1元，可组成多少种不同的币值？10.乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有多少种不同的选法？11.游人登山，从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游人从上山到下山共有多少种不同的走法？12.红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1，2，3，任取3面，它们的颜色与号码均不相同的取法有多少种？13.甲、乙两人在方格中各放一枚棋子，要求两枚棋子不在同一行，也不在同一列共有多少种放法？14.壹角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹角的人民币3张，如果至少取一张，至多取9张，可配成多少种不同的钱数？3．加法原理、乘法原理综合运用这里请同学们注意乘法原理和加法原理的不同之处．若完成一件事要分成若干步骤，每一步骤一个接一个地完成，并且每一步骤都是缺一不可的，这件事才能完成，则用乘法原理．若完成一件事的方法分成几类，每一类中的每一种方法都可以独立地完成这件事，则用加法原理．但很多情况是这两个原理的混合使用．例1书架上摆着6本不同的《儿童画报》，10本不同的《少年文艺》及7本不同的《故事会》。（1）每次从书架上任取一本《儿童画报》、一本《少年文艺》、一本《故事会》，共有多少种不同的取法？（2）从书架上任取一本有多少种不同的取法？分析：（1）每次从书架上任取一本《儿童画报》，一本《少年文艺》，一本《故事会》，必须分三步进行，第一步从《儿童画报》中取一本，有6种不同的取法；第二步从《少年文艺》中取一本，有10种不同的取法；第三步从《故事会》中取一本，有7种不同的取法，只有完成这三步才能完成从书架上取一本《儿童画报》、一本《少年文艺》、一本《故事会》这件事，所以用乘法原理即可得出。（2）从书架上任取一本，只要从《儿童画报》、《少年文艺》、《故事会》中任取一本，所以完成从书架上任取一本这件事，可分成三类。第一类从《儿童画报》中任取一本，有6种不同的取法；第二类从《少年文艺》中任取一本，有10种不同的取法；第三类从《故事会》中任取一本，有7种不同的取法；而哪一类办法中的任何一种方法都可独立完成从书架上任取一本这件事，因此用加法原理．解