专题四数列

专题四数列考前必记的数学概念、公式在下面8个小题中，有2个表述不正确，请在题后用“√”或“×”判定，并改正过来．1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列．()2．设Sn是数列{an}的前n项和，则an＝Sn，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.()3．如果数列{an}中，an＋1an＝q(q是不为0的常数，n≥2)，则数列{an}是等比数列．()4．若等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋nn－12d.()5．若等比数列{bn}的公比为q，则bn＝b1qn－1，Sn＝b11－qn1－q.()6．“数列{an}为常数列”是“{an}既成等差数列又成等比数列”的必要不充分条件．()7．若an＋1－an＝f(n)，则累加法求an＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1(n≥2)；若an＋1an＝f(n)，则累乘法求an＝f(n－1)·f(n－2)·…·f(1)·a1(n≥2)．()8．如果数列{an}的通项an＝1nn＋1，由裂项相消法可求前n项和Sn＝nn＋1.()名师点拨1.√2.√3.×4.√5.×6.√7.√8.√第3题中不能保证a2a1＝q；第5题中，当q≠1时，Sn＝b11－qn1－q才成立．订正3如果数列{an}中，an＋1an＝q(q是不为0的常数，n∈N*)，则数列{an}是等比数列．订正5若等比数列{bn}的公比为q，则bn＝b1qn－1；当q＝1时，Sn＝n·b1，当q≠1时，Sn＝b11－qn1－q.考前必会的性质、定理在下面7个小题中，有2个表述不正确，请在题后用“√”或“×”判定，并改正过来．1．数列{an}是等差数列⇔2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)；数列{an}是等比数列⇔a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)．()2．在等差数列{an}中，an＝am＋(n－m)d；若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.()3．在等比数列{bn}中，bn＝bm·qn－m；若m＋n＝p＋q，则bm·bn＝bp·bq.()4．若{an}是等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列；若{an}是等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列．()5．设Sn是数列{an}的前n项和，则{an}为等差数列的充要条件是Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．()6．如果数列{an}成等比数列，且an0，那么数列{logaan}(a0，且a≠1)必成等差数列．()7．若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么数列{an·bn}的前n项和，常用“错位相减法”，将其和转化为“一个新的等比数列的和”求解．()名师点拨1.×2.√3.√4.×5.√6.√7.√第1题中，当an·an＋2≠0时，数列{an}是等比数列⇔a2n＋1＝an·an＋2.第4题中，若{an}是等比数列，当Sn≠0时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n才成等比数列．订正1数列{an}是等差数列⇔2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)；数列{an}是等比数列⇔a2n＋1＝an·an＋2≠0(n∈N*)．订正4若{an}是等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列；若{an}是等比数列，且Sn≠0时，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列．易混、易错、易忘问题大盘点1．已知数列的前n项和求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示，事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a，b的等比中项是±ab.3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知SnTn＝n＋12n＋3，求anbn时，无法正确赋值求解．4．易忽视等比数列中公比q≠0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．5．运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论；一定分q＝1或q≠1两种情况进行讨论．6．对于通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求Sn时，切莫忘记讨论n的奇偶性；遇到已知an＋1－an－1＝d或an＋1an－1＝q(n≥2)，求{an}的通项公式，要注意分n的奇偶性讨论．7．数列相关问题中，切忌忽视公式中n的取值范围，混淆数列的单调性与函数的单调性．如数列{an}的通项公式an＝n＋2n，求最小值，既要考虑函数f(x)＝x＋2x(x0)的单调性，又要注意n的取值限制条件．8．求等差数列{an}前n项和Sn的最值，易混淆取得最大或最小值的条件．